最短路——dijkstra（学习笔记）

\(dijkstra\)

例题 P4779 【模板】单源最短路径（标准版）

作用：

dijkstra是一种用来处理非负边权的单源最短路，在特定情况下，他比其他常用算法都较快。在做图论时有较大用处。

算法原理：

\(dijkstra\)运用了贪心的思想；也就是说每一次都找最短的边。其过程是：
1.先定义两个集合\(A\)和\(B\)，\(A\)集合里的元素是还未算出最短路的点;\(B\)集合里的就是已经求出最短路的点。

2.而我们要做的就是从起点开始遍历每一个点。每次都找到最短的那个边，再将它加入\(A\)（即有一个点\(q\)到另一个点\(p\)有多条边，\(q \rightarrow p\)的最短路就是最短的那条，依次类推）。若用暴力搜索最短的边，那整体的时间复杂度为 \(n^2\),因为每次只需要最短的一条边，因此可以用小根堆维护，复杂度为\(nlogn\)。

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
struct edge{
	int v,w;
};
struct node{
	int dis,u;
	bool operator>(const node& a)const{return dis>a.dis;}
};
int dis[N],vis[N];
vector<edge>e[N];
priority_queue<node,vector<node>,greater<node>>q;
void dijkstra(int s){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	dis[s]=0;
	q.push({0,s});
	while(!q.empty()){
		int u=q.top().u;
		q.pop();
		if(vis[u])continue;
		vis[u]=1;
		for(auto ed:e[u]){
			int w=ed.w,v=ed.v;
			if(dis[v]>dis[u]+w){
				dis[v]=dis[u]+w;
				q.push({dis[v],v});
			}
		}
	}
}
int main(){
	int n,m,s;
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		e[u].push_back({v,w});
	}
	dijkstra(s);
	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<dis[i]<<" ";
}

注意：

一般来说，最短路的题，都是难于建图，要找到题目的要求。再使用模板

普通 \(dijkstra\):

这里也放上普通版 \(dijkstra\) 的代码，要根据题目的点数 \(n\) 和边数 \(m\) 来合理选择使用，若 \(m\) 较大，而 \(n\) 较少，则用普通版可能更优。

void dijkstra(){
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dis[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int u=0,mi=0x3f3f3f3f;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(dis[j]<mi && !vis[j]){
                mi=dis[j];
                u=j;
            }
        }
        vis[u]=1;
        for(auto ed:e[u]){
            int v=ed.v,w=ed.w;
            if(dis[v]>dis[u]+w){
                dis[v]=dis[u]+w;
            }
        }
    }
}