狄利克雷卷积
由于本人非常的 \(cai\)，到现在才开始正式学数学，特地写成博客
积性函数
当 \(gcd(x, y) = 1\) 时，\(f(x * y) = f(x) * f(y),f\) 就叫做积性函数
- 常见的积性函数 \(id(i) = i, \varphi(i) = \sum\limits [gcd(i, j ) = 1], \mu, 1(n) = 1...\)
迪利克雷卷积是什么
\[F = f * g, F(n) = \sum\limits_{d | n} f(d) g(\frac n d)
\]
这种特殊的卷积叫做迪利克雷卷积
显然，这个式子满足交换律
\[f * g = g * f
\]
其次它还满足结合律
\[F = (a * b) * c = a * (b * c)
\]
\[F(n) = \sum_{dl = n} (a * b)(d) c(l)
\]
\[= \sum_{dl = n} (\sum_{g k = d} a(g) b(k)) c(l)
\]
\[\sum_{gkl = n} a(g) b(k) c(l)
\]
另一边同理
一些常见的迪利克雷卷积
\[\mu * 1 = [n = 1]
\]
\[\varphi * 1 = id
\]
