暗的连锁 题解

题目描述

Dark 是一个无向图，图中有 $n$ 个结点和两类边，一类边被称为主要边，而另一类被称为附加边。Dark 有 $n-1$ 条主要边，并且 Dark 的任意两个结点之间都存在一条只由主要边构成的路径。另外，Dark 还有 $m$ 条附加边。

你的任务是把 Dark 斩为不连通的两部分。一开始 Dark 的附加边都处于无敌状态，你只能选择一条主要边切断。一旦你切断了一条主要边，Dark 就会进入防御模式，主要边会变为无敌的，而附加边可以被切断。但是你的能力只能再切断 Dark 的一条附加边。现在你想要知道，一共有多少种方案可以击败 Dark。

注意，就算你第一步切断主要边之后就已经把 Dark 斩为两截，你也需要切断一条附加边才算击败了 Dark。

数据范围：$1\le n\le 10^5, 1\le m\le 2\times 10^5$。

题解

考虑枚举第一次删掉的边是哪一条。显然这个东西最开始是一个树，每次添加一条附加边就会多加入一个环。

对于一条原先的树边，如果它不被任何一个环所包含，那么砍掉它就会将 Dark 直接分为两半，此时任意再切一个附加边即可，对答案的贡献是 $m$。若这条树边被一个环所包含（也就是这条边是某个环的组成部分），那么切了它就只能再切那条相应附加边，对答案的贡献是 $1$，若被两个或以上的包含，那么切这条边就没有任何用处。

暴力的做法是 $O(n^2)$ 的，时间复杂度卡在了统计每条树边被几个环所包含。

比如这个图，若在 6 与 3 之间加上了一条附加边，则会形成一个 $2-3-6-5$ 的环，发现这个环其实最高只影响到了 $\operatorname{LCA}(u,v)$，于是考虑树上差分，对于每条附加边 $u,v$，使得 $d_u,d_v$ 都增加 $1$，$d_{\operatorname{LCA}(u,v)}$ 减 $2$。最后统计一下即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 1e5 + 5;
int n, m, d[MAXN], dep[MAXN], fa[MAXN][32], ans[MAXN], anss;
vector<int> G[MAXN];

void predfs(int x, int fat) {
  fa[x][0] = fat;
  dep[x] = dep[fat] + 1;
  for (auto u : G[x]) {
    if (u == fat) continue;
    predfs(u, x);
  }
}

int LCA(int u, int v) {
  if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
  for (int i = 29; i >= 0; --i) {
    if (dep[fa[u][i]] >= dep[v]) u = fa[u][i];
  }
  if (u == v) return v;
  for (int i = 29; i >= 0; --i) {
    if (fa[u][i] != fa[v][i]) {
      u = fa[u][i], v = fa[v][i];
    }
  }
  return fa[u][0];
}

void dfs(int x, int fat) {
  ans[x] = d[x];
  for (auto u : G[x]) {
    if (u == fat) continue;
    dfs(u, x);
    ans[x] += ans[u];
  }
}

int main(void) {
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i < n; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    G[u].push_back(v);
    G[v].push_back(u);
  }
  // LCA Init
  predfs(1, 0);
  for (int i = 1; i < 30; ++i) {
    for (int j = 1; j <= n; ++j) {
      fa[j][i] = fa[fa[j][i - 1]][i - 1];
    }
  }
  // Calculate Answer
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int u, v;
    cin >> u >> v;
    d[u]++, d[v]++, d[LCA(u, v)] -= 2;
  }
  dfs(1, 0);
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    if (ans[i] == 0)
      anss += m;
    else if (ans[i] == 1)
      anss++;
  }
  cout << anss << endl;
  return 0;
}