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2024.7.25 校内测验 T3

题意

给定序列 $a$，$m$ 次查询，每次查询修改一个数，然后查询：每次操作选定最大且下标最小的数 $a_i$，使 $a_{i-1},a_i,a_{i+1}$ 的值都减 $1$,查询将整个序列变为全非正数序列的操作次数.

赛时 50pts

由于每次都会连带着相邻两个元素一起减 $1$，当选定一个元素后，相邻两个元素永远不会大于该元素，因此当选定一个元素后，该元素一定会一直被操作直到减为 $0$。因此我们开一个堆，每次找出符合要求的元素，然后将该元素及相邻元素置为0，并累加答案。
时间复杂度 $O(mn\log n)$。

sol

顺着赛时的思路去想，由于需要进行修改，我们考虑使用线段树来操作。
在 pushup 时，我们需要将两区间合并，此时可能会有四种情况：

1. .X.+(.)X. 直接合并
2. .X+X. 此时如果删掉中间的其中一个，另一个也会随之被删除，因此，只能选择更大且更靠左的值，另外一边只能不选 X，重新计算答案

因此，我们需要维护四个值 $sum,suml,sumr,sumlr$（分别表示最终答案、不选左端点的答案、不选右端点的答案、不选两端点的答案）以及四个标记 $cl, cr, clr, crl$（分别表示最终答案选不选左端点、最终答案选不选右端点、不选左端点的答案选不选右端点、不选右端点的答案选不选左端点）。
在合并时，若左儿子答案取了右端点，并且右儿子答案取了左端点，则需要处理冲突，否则直接相加。
处理冲突的方法为：
比较左儿子的右端点和右儿子的左端点的大小，若相同则取左儿子。
如果取左儿子，则将左儿子的答案和右儿子不取左端点的答案相加，然后处理标记
否则，就讲右儿子的答案和左儿子不取右端点的答案相加，然后处理标记
另外三个值的处理方式同理。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 100005;

struct Node{
    LL sum;
    LL suml, sumr, sumlr;
    bool cl, cr;
    bool clr, crl;
}tr[N * 4];

int n, m;
LL a[N];

void pushup(int u, int l, int r){
    int mid = l + r >> 1;
    if (tr[u << 1].cr && tr[u << 1 | 1].cl){
        if (a[mid] >= a[mid + 1]){
            tr[u].cl = tr[u << 1].cl;
            tr[u].cr = tr[u << 1 | 1].clr;
            tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].suml;
        }
        else {
            tr[u].cl = tr[u << 1].crl;
            tr[u].cr = tr[u << 1 | 1].cr;
            tr[u].sum = tr[u << 1].sumr + tr[u << 1 | 1].sum;
        }
    }
    else {
        tr[u].cl = tr[u << 1].cl;
        tr[u].cr = tr[u << 1 | 1].cr;
        tr[u].sum = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum;
    }
    if (tr[u << 1].clr && tr[u << 1 | 1].cl){
        if (a[mid] >= a[mid + 1]){
            tr[u].clr = tr[u << 1 | 1].clr;
            tr[u].suml = tr[u << 1].suml + tr[u << 1 | 1].suml;
        }
        else {
            tr[u].clr = tr[u << 1 | 1].cr;
            tr[u].suml = tr[u << 1].sumlr + tr[u << 1 | 1].sum;
        }
    }
    else {
        tr[u].clr = tr[u << 1 | 1].cr;
        tr[u].suml = tr[u << 1].suml + tr[u << 1 | 1].sum;
    }
    if (tr[u << 1 | 1].crl && tr[u << 1].cr){
        if (a[mid] < a[mid + 1]){
            tr[u].crl = tr[u << 1].crl;
            tr[u].sumr = tr[u << 1 | 1].sumr + tr[u << 1].sumr;
        }
        else {
            tr[u].crl = tr[u << 1].cl;
            tr[u].sumr = tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sumlr;
        }
    }
    else {
        tr[u].crl = tr[u << 1].cl;
        tr[u].sumr = tr[u << 1 | 1].sumr + tr[u << 1].sum;
    }
    if (tr[u << 1 | 1].crl && tr[u << 1].clr){
        if (a[mid] >= a[mid + 1])
            tr[u].sumlr = tr[u << 1].suml + tr[u << 1 | 1].sumlr;
        else 
            tr[u].sumlr = tr[u << 1].sumlr + tr[u << 1 | 1].sumr;
    }
    else 
        tr[u].sumlr = tr[u << 1 | 1].sumr + tr[u << 1].suml;
}

void build(int u, int l, int r){
    if (l == r){
        tr[u].sum = a[l];
        tr[u].suml = tr[u].sumr = tr[u].sumlr = 0;
        tr[u].cl = tr[u].cr = true;
        tr[u].clr = tr[u].crl = false;
        return ;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    build(u << 1, l, mid);
    build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
    pushup(u, l, r);
}

void update(int u, int l, int r, int x){
    if (l == r){
        tr[u].sum = a[l];
        return ;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    if (x <= mid) update(u << 1, l, mid, x);
    else update(u << 1 | 1, mid + 1, r, x);
    pushup(u, l, r);
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%lld", &a[i]);

    build(1, 1, n);

    while (m -- ){
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        a[x] = y;
        update(1, 1, n, x);
        printf("%lld\n", tr[1].sum);
    }

    return 0;
}