题意

维护序列 $a={1,2,\cdots,n}$，要求对 $a$ 进行 $m$ 次操作，每次操作使子序列 $[L,R]$ 翻转，操作后将 $a$ 输出。

sol

区间操作，显然线段树……吗？
仔细分析后会发现，似乎没有一种方法能够在 $O(\log n)$ 之内使线段树中的子序列翻转，此时我们不得不寻找一种全新的数据结构来区间操作，平衡树中的 Splay 和 FHQ-Treap（无旋 Treap）是两个不错的选择，考虑到 Splay 更为经典，本题以 Splay 为例，FHQ-Treap 会在后面的文章中提到。
Splay 的核心思想是：每次对一个节点进行插入或查询操作后，将这个节点旋转到根节点。

旋转（Rotate）

平衡树的旋转操作都是相同的，因此关于旋转操作的详细讲解请移步 [lnsyoj118/luoguP3369]普通平衡树，但由于 Splay 的伸展操作需要使用父节点，因此 Splay 的旋转操作中，除了修改三个节点的儿子，还需要修改这三个儿子的父节点。但也正因为需要记录父节点，Splay 的旋转操作可以通过判断节点 $u$ 是其父节点的左儿子还是右儿子的方法，来使左旋和右旋操作合并为一个函数。
代码如下：

void rotate(int u){
    int x = tr[u].p;
    int y = tr[x].p;
    int k = u == tr[x].s[1];
    tr[y].s[x == tr[y].s[1]] = u, tr[u].p = y;
    tr[x].s[k] = tr[u].s[k ^ 1], tr[tr[u].s[k ^ 1]].p = x;
    tr[u].s[k ^ 1] = x, tr[x].p = u;
    pushup(x), pushup(u);
}

伸展（Splay）

伸展操作是 Splay 的核心操作，也是 Splay 每次操作的平均复杂度为 $O(\log n)$ 的关键。它的意思是将节点 $u$ 变为节点 $k$ 的儿子，特别的，当 $k=0$ 时，意为将节点 $u$ 设置为根节点。
与 Treap 不同的是，Splay 的伸展操作每次让节点 $u$ 向上旋转两次，显然，可以分为两种情况：
记 $u$ 的父节点为 $x$，$x$ 的父节点为 $y$，

1. 若 $u,x$ 相对于 $x,y$ 的位置相同，则需要先旋转 $x$，再旋转 $u$；
2. 若 $u,x$ 相对于 $x,y$ 的位置不相同，则需要连续旋转两次 $u$。

如果不按照此方法来进行伸展操作，就无法保证 Splay 每次操作的平均复杂度为 $O(\log n)$（证明请参考伸展树（Splay）复杂度证明（作者：Mr_Spade）），因此请务必牢记。
代码如下：

void splay(int u, int k){
    while (tr[u].p != k){
        int x = tr[u].p;
        int y = tr[x].p;
        if (y != k) { //显然，当 y=k 时，只需要进行一次操作即可
            if ((tr[x].s[1] == u) ^ (tr[y].s[1] == x)) rotate(u);
            else rotate(x);
        }
        rotate(u);
    }
    if (!k) root = u; //当 k=0 时，将 u 置为根
}

说回本题，从前面，我们可以发现，Splay的每一个子树都可以表示一个区间。又因为对于序列 ${a_1,a_2,\cdots,a_k,\cdots,a_n}$，将其翻转后的结果等同于将 ${a_k,\cdots,a_n}$ 和 ${a_1,a_2,\cdots,a_{k-1}}$ 翻转后的结果拼合。因此我们可以通过设置 lazytag 的方式来解决本题。每次输出或查询时，将 lazytag 下传即可。
至于如何在 Splay 中查找区间 $[L,R]$，有很多方法，其中可行的一种是：将下标 $L-1$ 对应的节点旋转至根，下标 $R+1$ 对应的节点旋转至根的下方，则下标 $R+1$ 对应的节点的左儿子即为区间 $[L,R]$。
为了防止出现边界问题，我们还需要在 Splay 中添加节点 $0$ 和节点 $n+1$，来避免查找不存在的下标 $0$ 或下标 $n + 1$ 对应的节点

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100005;

struct Node{
    int s[2], p, v;
    int size, flag;
    void init(int _p, int _v){
        p = _p, v = _v;
        size = 1, flag = 0;
    }
}tr[N];
int n, m;
int root, idx;

void pushup(int u){
    tr[u].size = tr[tr[u].s[0]].size + tr[tr[u].s[1]].size + 1;
}

void pushdown(int u){
    if (tr[u].flag){
        swap(tr[u].s[0], tr[u].s[1]);
        tr[tr[u].s[0]].flag ^= 1;
        tr[tr[u].s[1]].flag ^= 1;
        tr[u].flag = 0;
    }
}

void output(int u){
    pushdown(u);
    if (tr[u].s[0]) output(tr[u].s[0]);
    if (1 <= tr[u].v && tr[u].v <= n) cout << tr[u].v << ' ';
    if (tr[u].s[1]) output(tr[u].s[1]);
}

void rotate(int u){
    int x = tr[u].p;
    int y = tr[x].p;
    int k = u == tr[x].s[1];
    tr[y].s[x == tr[y].s[1]] = u, tr[u].p = y;
    tr[x].s[k] = tr[u].s[k ^ 1], tr[tr[u].s[k ^ 1]].p = x;
    tr[u].s[k ^ 1] = x, tr[x].p = u;
    pushup(x), pushup(u);
}

void splay(int u, int k){
    while (tr[u].p != k){
        int x = tr[u].p;
        int y = tr[x].p;
        if (y != k) {
            if ((tr[x].s[1] == u) ^ (tr[y].s[1] == x)) rotate(u);
            else rotate(x);
        }
        rotate(u);
    }
    if (!k) root = u;
}

void insert(int key){
    int u = root, p = 0;
    while (u) {
        p = u;
        u = tr[u].s[key > tr[u].v];
    }
    u = ++ idx;
    if (p) tr[p].s[key > tr[p].v] = u;
    tr[u].init(p, key);
    splay(u, 0);
}

int get_key(int u, int rank){
    while (true){
        pushdown(u);
        if (tr[tr[u].s[0]].size >= rank) u = tr[u].s[0];
        else if (tr[tr[u].s[0]].size + 1 == rank) return u;
        else rank -= tr[tr[u].s[0]].size + 1, u = tr[u].s[1];
    }
    return -1;
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i <= n + 1; i ++ ) insert(i);
    while (m -- ){
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        l = get_key(root, l), r = get_key(root, r + 2);
        splay(l, 0), splay(r, l);
        tr[tr[r].s[0]].flag ^= 1;
    }
    output(root);
    
    return 0;
}

蒟蒻犯的若至错误

• 伸展操作时，若 $k=0$ ，需要将 $root$ 置为 $u$
• 查询下标为 $k$ 的节点时，若该节点在右子树，务必要先修改 $rank$，再修改 $u$