题意

给出一个 $n$ 个点 $m$ 条边的正权有向图，求从点 $n$ 到点 $1$ 的前 $k$ 短路的距离分别是多少。

sol

$k$ 短路问题往往使用 A* 算法（时间复杂度 $O(nk\log n)$）或可持久化可并堆优化最短路树（时间复杂度 $O((n+m) \log m + k \log k)$），由于本题数据范围较小，可以使用更好写的 A* 算法。

A* 算法

A* 算法是启发式搜索的一种，其核心是估价函数 $f(x)=g(x) + h(x)$，其中，$g(x)$ 是当前到达状态 $x$ 的最小代价，$h(x)$ 是状态 $x$ 到达目标状态的估计最小代价（该值必须不大于实际代价，且越大越好）。每次选择 $f(x)$ 最小的未选择的状态，直到到达目标状态

$k$ 短路

对于本题，我们计 $h(x) = dist(x,1)$，这样可以保证一定不大于第 $k$ 短路中这一段的距离。然后执行 A* 算法，当点 $1$ 被遍历 $k$ 次后，返回即可。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>

#define x first 
#define y second 

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<int, PII> PIP;

const int N = 1005, M = 10005;

struct Graph{
    int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;

    Graph(){
        memset(h, -1, sizeof h);
    }

    void add(int a, int b, int c){
        e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    }
} G, Ginv;

int n, m, k;
int h[N];
bool st[N];
int cnt[N];

void dijkstra(){
    memset(h, 0x3f, sizeof h);
    h[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});

    while (!heap.empty()){
        PII t = heap.top();
        heap.pop();
        if (st[t.y]) continue;
        st[t.y] = true;

        for (int i = Ginv.h[t.y]; ~i; i = Ginv.ne[i]){
            int j = Ginv.e[i];
            if (h[j] > h[t.y] + Ginv.w[i]) {
                h[j] = h[t.y] + Ginv.w[i];
                heap.push({h[j], j});
            }
        }
    }
}

void A_star(){
    priority_queue<PIP, vector<PIP>, greater<PIP>> heap;
    heap.push({h[n], {0, n}});
    while (!heap.empty()){
        PIP t = heap.top();
        heap.pop();
        cnt[t.y.y] ++ ;
        if (t.y.y == 1) {
            printf("%d\n", t.x);
            if (cnt[t.y.y] == k) return ;
        }

        for (int i = G.h[t.y.y]; ~i; i = G.ne[i]) {
            int j = G.e[i];
            if (cnt[j] > k) continue;
            heap.push({t.y.x + G.w[i] + h[j], {t.y.x + G.w[i], j}});
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);

    while (m -- ){
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        G.add(a, b, c), Ginv.add(b, a, c);
    }

    dijkstra();

    A_star();

    for (int i = cnt[1]; i < k; i ++ ) puts("-1");

    return 0;
}