NOIP2016提高组] 组合数问题

题意

原题链接
给定 $n,m,k$ ，对于所有的 $0\le i \le n,0 \le j \le min\{i,m\}$ ，有多少对 $(i,j)$ 满足 $k|(^i_j)$

sol

在解决组合数问题时，若遇到 $n,m\le2000$ 的情况，可以使用递推法（杨辉三角）来进行 $O(n^2)$ 的预处理，再 $O(1)$ 直接调用

递推法求组合数

(_{m}^{n}) = (_{m}^{n - 1}) + (_{m - 1}^{n - 1})

$(^n_m)=(^{n-1}_m)+(^{n-1}_{m-1})$

证明：

(_{m}^{n - 1}) + (_{m - 1}^{n - 1}) = \frac{(n - 1)!}{m! (n - m - 1)!} + \frac{(n - 1)!}{(m - 1)! (n - m)!} = \frac{n!}{m! (n - m)!} = (_{m}^{n})

$(^{n-1}_m)+(^{n-1}_{m-1}) = \frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!} + \frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} = (^n_m)$

对于本题，可以在预处理的同时维护二维前缀和，在每次查询时直接查表即可

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 2005;

int n, m, k;
int c[N][N];
int s[N][N];

void init(){
    c[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 2000; i ++ ){
        c[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= 2000; j ++ ){
            if (j <= i){
                c[i][j] = (c[i - 1][j] % k + c[i - 1][j - 1] % k) % k;
                if (c[i][j] == 0) s[i][j] ++;
            }
            s[i][j] = s[i][j] + s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
        }
    }
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d%d", &T, &k);
    init();
    while (T -- ){
        scanf("%d%d", &n, &m);
        long long cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
            cnt += s[i][min(i, m)] - s[i - 1][min(i, m)];
        }
        printf("%lld\n", cnt);
    }

    return 0;
}