[luoguAT_abc369_f]Gather Coins

题意

给定 \(N\times M\) 的网格，给定 \(K\) 个二元组 \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots , (x_K, y_K)\)，求从 \((1, 1)\) 到 \((N, M)\) 只向右或向下走最多可以经过多少个给定的方格，并给出一种方案。

赛时 不会

赛后

由于只能向右或向下走，因此当前所处位置 \((nowx, nowy)\) 中，\(nowx\) 和 \(nowy\) 一定都是不降的。因此，我们可以将所有给定的点按照 \(x\) 为第一关键字，\(y\) 为第二关键字升序排序（事实上，这就是 pair 的排序方法），这样，问题就转化为了 \(O(n \log n)\) 的时间复杂度求所有点的 \(y\) 的最长不降子序列（LIS）及其中一种方案。

LIS

我们记录一个单调栈，当遍历到 \(y_i\) 时，在栈中查找第一个 \(>y_i\) 的元素并用 \(y_i\) 将其替换，特别的，如果没有这样的元素，则将 \(y_i\) 压入栈中，结合二分可以做到 \(O(n \log n)\)，但是这样，单调栈中记录的元素并不是可行的方案。因此，需要记录 \(y_i\) 被放入栈中时的位置 \(pos_i\)，这样，只需要倒序枚举，且使得最终答案满足 \(LIS_i\) 上的元素的 \(pos\) 为 \(i\) 即可。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define x first 
#define y second 

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 200005;

PII points[N], p[N];
int n, m, k;
int stk[N], top = 0, po[N], len;

int main(){
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for (int i = 1; i <= k; i ++ ) scanf("%d%d", &points[i].x, &points[i].y);

    sort(points + 1, points + k + 1);
	
    for (int i = 1; i <= k; i ++ ){
        int pos = upper_bound(stk + 1, stk + top + 1, points[i].y) - stk;
        top = max(top, pos);
        stk[pos] = points[i].y;
        po[i] = pos;
    }
    printf("%d\n", top);

    len = top;
    for (int i = k; i; i -- ){
        if (!len) break;
        if (po[i] == len) stk[len -- ] = points[i].y;
    }

    for (int i = 1, j = 1; i <= top; j ++ )
        if (points[j].y == stk[i]) i ++ , p[i] = points[j];

    p[1] = {1, 1}, p[top + 2] = {n, m};

    for (int i = 2; i <= top + 2; i ++ ){
        for (int j = 1; j <= p[i].x - p[i - 1].x; j ++ ) printf("D");
        for (int j = 1; j <= p[i].y - p[i - 1].y; j ++ ) printf("R");
    }

    return 0;
}