[lnsyoj285/luoguP2596/ZJOI2006]书架
题意
维护一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，进行 \(m\) 次操作，操作包括：
- 将 \(x\) 放置于序列开头；
- 将 \(x\) 放置于序列末尾；
- 将 \(x\) 与其前驱/后继交换；
- 查询 \(x\) 的下标 \(-1\)；
- 查询下标为 \(x\) 的数
sol
维护序列，可以使用线段树或平衡树，本题使用平衡树更为简便。
介于已经学习过 Splay，本题使用 FHQ-Treap 解决。
（fhq佬%%%）
FHQ-Treap 通过将 BST 分裂与合并实现操作，且分裂与合并后该 BST 的 \(val\) 仍满足堆的性质。
分裂(Split)
FHQ-Treap 拥有两种分裂方式：按值分裂与按排名分裂
按值分裂时，会给定 \(qkey\)，所有 \(\le qkey\) 的点都会被分裂至树 \(x\)，所有 \(> qkey\) 的点都会被分裂至树 \(y\)。
根据 BST 的定义，如果根节点的 \(key \le qkey\)，说明根节点的左子树的所有节点都 \(\le key\)，因此将根节点作为 \(x\) 的根，然后递归处理；同理，如果根节点的 \(key > qkey\)，说明根节点的右子树的所有节点都 \(> key\)，因此将根节点作为 \(y\) 的根，然后递归处理。
按值分裂适用于处理集合式问题，例如[lnsyoj118/luoguP3369]普通平衡树
代码
void split(int u, int key, int &x, int &y){
if (!u) {
x = y = 0;
return ;
}
if (tr[u].key <= key) x = u, split(tr[u].r, key, tr[x].r, y);
else y = u, split(tr[u].l, key, x, tr[y].l);
pushup(u);
}
按排名分裂时，与按值分裂基本相同，但需要注意的是，如果递归遍历至右子树，查找的排名需要在原有基础上减去 \(lson.size+1\)，即左子树和根节点中的节点数量
按排名分裂适用于处理序列式问题，例如本题和[lnsyoj119/luoguP3391]文艺平衡树
注意：按排名分裂调用 split 时，\(size\) 应为该树中的排名，而非序列中的排名
代码
void split(int u, int size, int &x, int &y){
if (!u) {
x = y = 0;
return ;
}
if (tr[tr[u].l].size + 1 <= size) x = u, split(tr[u].r, size - tr[tr[u].l].size - 1, tr[x].r, y);
else y = u, split(tr[u].l, size, x, tr[y].l);
pushup(u);
}
合并(Merge)
由于合并后仍需要保持 \(val\) 二叉堆的性质，因此合并时需要依照 \(val\) 进行合并
具体地（以小根堆为例），如果树 \(x\) 根节点的\(val\)更小，则将树 \(x\) 根节点作为合并后树的根节点，其左子树即为树 \(x\) 的左子树，右子树为将树 \(x\) 的右子树与树 \(y\) 合并后得到的树；同理，如果树 \(y\) 根节点的\(val\)更小，则将树 \(y\) 根节点作为合并后树的根节点，其右子树即为树 \(y\) 的右子树，左子树为将树 \(y\) 的左子树与树 \(x\) 合并后得到的树。
代码
int merge(int x, int y){
if (!x || !y) return x | y;
if (tr[x].val <= tr[y].val) {
tr[x].r = merge(tr[x].r, y);
pushup(x);
return x;
}
else {
tr[y].l = merge(x, tr[y].l);
pushup(y);
return y;
}
}
值得注意的是，在进行分裂和合并操作之后，都需要进行上推操作来维护 \(size\)（和父节点）
说回本题。FHQ-Treap 并不支持根据 \(key\) 查询节点在序列中的位置，因此需要记录 \(pos\)，来记录 \(key\) 对应的节点编号，再根据节点编号和父亲上推。具体操作是：根据BST的定义，该节点的左子树一定比该节点小，同时，当该节点是父节点的右子树时，父节点和左子树也一定比该节点小。
代码如下：
int get_rank(int u){
int res = tr[tr[u].l].size + 1;
while (u != root){
if (tr[tr[u].fa].r == u) res += tr[tr[tr[u].fa].l].size + 1;
u = tr[u].fa;
}
return res;
}
剩余的就是分裂与合并操作的组合了。
代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int N = 80005;
struct Node{
int l, r;
int key, val;
int size;
int fa;
}tr[N];
int idx;
int root;
int pos[N];
int n, m;
void pushup(int u){
tr[u].size = tr[tr[u].l].size + tr[tr[u].r].size + 1;
tr[tr[u].l].fa = tr[tr[u].r].fa = u;
}
int create(int key){
tr[ ++ idx].key = key;
tr[idx].val = rand();
tr[idx].size = 1;
pos[key] = idx;
return idx;
}
void split(int u, int size, int &x, int &y){
if (!u) {
x = y = 0;
return ;
}
if (tr[tr[u].l].size + 1 <= size) x = u, split(tr[u].r, size - tr[tr[u].l].size - 1, tr[x].r, y);
else y = u, split(tr[u].l, size, x, tr[y].l);
pushup(u);
}
int merge(int x, int y){
if (!x || !y) return x | y;
if (tr[x].val <= tr[y].val) {
tr[x].r = merge(tr[x].r, y);
pushup(x);
return x;
}
else {
tr[y].l = merge(x, tr[y].l);
pushup(y);
return y;
}
}
int get_rank(int u){
int res = tr[tr[u].l].size + 1;
while (u != root){
if (tr[tr[u].fa].r == u) res += tr[tr[tr[u].fa].l].size + 1;
u = tr[u].fa;
}
return res;
}
int get_key(int rank){
int u = root;
while (u){
if (tr[tr[u].l].size >= rank) u = tr[u].l;
else if (tr[tr[u].l].size + 1 == rank) return tr[u].key;
else rank -= tr[tr[u].l].size + 1, u = tr[u].r;
}
return -1;
}
int main(){
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
int t;
scanf("%d", &t);
root = merge(root, create(t));
}
int r1, r2, r3, r4;
while (m -- ){
r1 = r2 = r3 = r4 = 0;
char op[10];
int x;
scanf("%s%d", op, &x);
if (*op == 'T'){
int p = get_rank(pos[x]);
split(root, p - 1, r1, r2);
split(r2, 1, r2, r3);
root = merge(r2, merge(r1, r3));
} else if (*op == 'B'){
int p = get_rank(pos[x]);
split(root, p - 1, r1, r2);
split(r2, 1, r2, r3);
root = merge(merge(r1, r3), r2);
} else if (*op == 'I'){
int t;
scanf("%d", &t);
if (!t) continue;
int p = get_rank(pos[x]);
if (t == 1){
split(root, p - 1, r1, r2);
split(r2, 1, r2, r3);
split(r3, 1, r3, r4);
root = merge(r1, merge(r3, merge(r2, r4)));
} else{
split(root, p - 2, r1, r2);
split(r2, 1, r2, r3);
split(r3, 1, r3, r4);
root = merge(r1, merge(r3, merge(r2, r4)));
}
} else if (*op == 'A'){
printf("%d\n", get_rank(pos[x]) - 1);
} else if (*op == 'Q'){
printf("%d\n", get_key(x));
}
}
return 0;
}
