[lnsyoj2360] 汤圆

题意

给定一个序列，选中一些元素使得任意连续 \(m\) 个元素中都有至少两个元素被选中。求满足条件的最小的被选中元素的和

sol

很容易想到定义 \(f_{i,j,k}\) 为前 \(i\) 个元素选择第 \(j\) 个和第 \(k\) 个的最小和，但是这样时间和空间都无法接受。
考虑删掉第一维，使用 \(f_{i,j}\) 表示选择第 \(i\) 个和第 \(j\) 个的最小和。容易转移得到

\[f_{i,j} = cost_i + \min_{k=i-m}^{j-1} f_{j, k} \]

时间复杂度为 \(O(nm^2)\)，进行优化：
展开 \(\min_{k=i-m}^{j-1} f_{j, k}\)，得到 \(\min\{f_{j, i - m},f_{j,i-m+1},\cdots,f_{j,j-1}\}\)，因此，\(f_{i,j}\) 只比 \(f_{i+1,j}\) 多比较了 \(f_{j,i-m}\)，时间复杂度减至 \(O(nm)\)
空间上，只需滚动数组即可，复杂度 \(O(n+m^2)\)

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1005, M = 105;

int f[M][M];
int n, m;
int g[N];

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &g[i]);
    int mod = m + 1;

    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[1][0] = g[1];
    for (int i = 1; i <= m; i ++ )
        for(int j = 1; j < i; j ++ ) f[i][j] = g[i] + g[j];

    for (int j = 1; j <= n; j ++ ){
        int minn = 0x3f3f3f3f;
        for (int i = j + m - 1; i > j; i -- ) {
            if (i > m){
                minn = min(minn, f[j % mod][(i - m) % mod]);
                f[i % mod][j % mod] = minn + g[i];
            }
        }
    }

    int ans = 0x3f3f3f3f;
    for (int i = n; i >= n - m + 1; i -- )
        for (int j = i - 1; j >= n - m + 1; j -- )
            ans = min(ans, f[i % mod][j % mod]);

    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}