[lnsyoj166/luoguP2822/NOIP2016提高组] 组合数问题

题意

原题链接
给定\(n,m,k\)，对于所有的\(0\le i \le n,0 \le j \le min\{i,m\}\)，有多少对\((i,j)\)满足\(k|(^i_j)\)

sol

在解决组合数问题时，若遇到\(n,m\le2000\)的情况，可以使用递推法（杨辉三角）来进行\(O(n^2)\)的预处理，再\(O(1)\)直接调用

递推法求组合数

\[(^n_m)=(^{n-1}_m)+(^{n-1}_{m-1}) \]

证明：

\[(^{n-1}_m)+(^{n-1}_{m-1}) = \frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!} + \frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!} = \frac{n!}{m!(n-m)!} = (^n_m)\]

对于本题，可以在预处理的同时维护二维前缀和，在每次查询时直接查表即可

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 2005;

int n, m, k;
int c[N][N];
int s[N][N];

void init(){
    c[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= 2000; i ++ ){
        c[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= 2000; j ++ ){
            if (j <= i){
                c[i][j] = (c[i - 1][j] % k + c[i - 1][j - 1] % k) % k;
                if (c[i][j] == 0) s[i][j] ++;
            }
            s[i][j] = s[i][j] + s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
        }
    }
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d%d", &T, &k);
    init();
    while (T -- ){
        scanf("%d%d", &n, &m);
        long long cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
            cnt += s[i][min(i, m)] - s[i - 1][min(i, m)];
        }
        printf("%lld\n", cnt);
    }

    return 0;
}