[lnsyoj165/luoguP4139]上帝与集合的正确用法

题意

求

\[2^{2^{2^{\cdots}}} \bmod p \]

的值

sol

高次幂算法，使用扩展欧拉定理降幂

\[a^p \equiv a^{p \bmod \phi(m) + \phi(m)}\pmod{m} (b \ge \phi(m)) \]

由于当 \(m=1\) 时，无论 \(a^p\) 取何值，结果均为 \(0\) ，因此递归计算即可

\(\phi\) 计算

由算数基本定理，得 $$n=\prod_{i=1}^k a_i^{p_i}$$
则 $$\phi(i) = n\cdot \prod_{i=1}^k \frac{a_i-1}{a_i}$$

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

int eular(int x){
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ ){
        if (x % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

int qpow(int a, int k, int p){
    int ans = 1;
    while (k){
        if (k & 1) ans = (long long) ans * a % p;
        a = (long long) a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return ans;
}

int solve(int p){
    if (p <= 2) return 0;
    int phi = eular(p);
    return qpow(2, phi + solve(phi), p);
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T -- ){
        int p;
        scanf("%d", &p);
        printf("%d\n", solve(p));
    }
}