[lnsyoj119/luoguP3391]文艺平衡树
题意
维护序列 \(a={1,2,\cdots,n}\)，要求对 \(a\) 进行 \(m\) 次操作，每次操作使子序列 \([L,R]\) 翻转，操作后将 \(a\) 输出。
sol
区间操作，显然线段树……吗？
仔细分析后会发现，似乎没有一种方法能够在 \(O(\log n)\) 之内使线段树中的子序列翻转，此时我们不得不寻找一种全新的数据结构来区间操作，平衡树中的 Splay 和 FHQ-Treap（无旋 Treap）是两个不错的选择，考虑到 Splay 更为经典，本题以 Splay 为例，FHQ-Treap 会在后面的文章中提到。
Splay 的核心思想是：每次对一个节点进行插入或查询操作后，将这个节点旋转到根节点。
旋转（Rotate）
平衡树的旋转操作都是相同的，因此关于旋转操作的详细讲解请移步 [lnsyoj118/luoguP3369]普通平衡树，但由于 Splay 的伸展操作需要使用父节点，因此 Splay 的旋转操作中，除了修改三个节点的儿子，还需要修改这三个儿子的父节点。但也正因为需要记录父节点，Splay 的旋转操作可以通过判断节点 \(u\) 是其父节点的左儿子还是右儿子的方法，来使左旋和右旋操作合并为一个函数。
代码如下：
void rotate(int u){
int x = tr[u].p;
int y = tr[x].p;
int k = u == tr[x].s[1];
tr[y].s[x == tr[y].s[1]] = u, tr[u].p = y;
tr[x].s[k] = tr[u].s[k ^ 1], tr[tr[u].s[k ^ 1]].p = x;
tr[u].s[k ^ 1] = x, tr[x].p = u;
pushup(x), pushup(u);
}
伸展（Splay）
伸展操作是 Splay 的核心操作，也是 Splay 每次操作的平均复杂度为 \(O(\log n)\) 的关键。它的意思是将节点 \(u\) 变为节点 \(k\) 的儿子，特别的，当 \(k=0\) 时，意为将节点 \(u\) 设置为根节点。
与 Treap 不同的是，Splay 的伸展操作每次让节点 \(u\) 向上旋转两次，显然，可以分为两种情况：
记 \(u\) 的父节点为 \(x\)，\(x\) 的父节点为 \(y\)，
- 若 \(u,x\) 相对于 \(x,y\) 的位置相同，则需要先旋转 \(x\)，再旋转 \(u\)；
- 若 \(u,x\) 相对于 \(x,y\) 的位置不相同，则需要连续旋转两次 \(u\)。
如果不按照此方法来进行伸展操作，就无法保证 Splay 每次操作的平均复杂度为 \(O(\log n)\)（证明请参考伸展树（Splay）复杂度证明（作者：Mr_Spade）），因此请务必牢记。
代码如下：
void splay(int u, int k){
while (tr[u].p != k){
int x = tr[u].p;
int y = tr[x].p;
if (y != k) { //显然，当 y=k 时，只需要进行一次操作即可
if ((tr[x].s[1] == u) ^ (tr[y].s[1] == x)) rotate(u);
else rotate(x);
}
rotate(u);
}
if (!k) root = u; //当 k=0 时，将 u 置为根
}
说回本题，从前面，我们可以发现，Splay的每一个子树都可以表示一个区间。又因为对于序列 \({a_1,a_2,\cdots,a_k,\cdots,a_n}\)，将其翻转后的结果等同于将 \({a_k,\cdots,a_n}\) 和 \({a_1,a_2,\cdots,a_{k-1}}\) 翻转后的结果拼合。因此我们可以通过设置 lazytag 的方式来解决本题。每次输出或查询时，将 lazytag 下传即可。
至于如何在 Splay 中查找区间 \([L,R]\)，有很多方法，其中可行的一种是：将下标 \(L-1\) 对应的节点旋转至根，下标 \(R+1\) 对应的节点旋转至根的下方，则下标 \(R+1\) 对应的节点的左儿子即为区间 \([L,R]\)。
为了防止出现边界问题，我们还需要在 Splay 中添加节点 \(0\) 和节点 \(n+1\)，来避免查找不存在的下标 \(0\) 或下标 \(n + 1\) 对应的节点
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100005;
struct Node{
int s[2], p, v;
int size, flag;
void init(int _p, int _v){
p = _p, v = _v;
size = 1, flag = 0;
}
}tr[N];
int n, m;
int root, idx;
void pushup(int u){
tr[u].size = tr[tr[u].s[0]].size + tr[tr[u].s[1]].size + 1;
}
void pushdown(int u){
if (tr[u].flag){
swap(tr[u].s[0], tr[u].s[1]);
tr[tr[u].s[0]].flag ^= 1;
tr[tr[u].s[1]].flag ^= 1;
tr[u].flag = 0;
}
}
void output(int u){
pushdown(u);
if (tr[u].s[0]) output(tr[u].s[0]);
if (1 <= tr[u].v && tr[u].v <= n) cout << tr[u].v << ' ';
if (tr[u].s[1]) output(tr[u].s[1]);
}
void rotate(int u){
int x = tr[u].p;
int y = tr[x].p;
int k = u == tr[x].s[1];
tr[y].s[x == tr[y].s[1]] = u, tr[u].p = y;
tr[x].s[k] = tr[u].s[k ^ 1], tr[tr[u].s[k ^ 1]].p = x;
tr[u].s[k ^ 1] = x, tr[x].p = u;
pushup(x), pushup(u);
}
void splay(int u, int k){
while (tr[u].p != k){
int x = tr[u].p;
int y = tr[x].p;
if (y != k) {
if ((tr[x].s[1] == u) ^ (tr[y].s[1] == x)) rotate(u);
else rotate(x);
}
rotate(u);
}
if (!k) root = u;
}
void insert(int key){
int u = root, p = 0;
while (u) {
p = u;
u = tr[u].s[key > tr[u].v];
}
u = ++ idx;
if (p) tr[p].s[key > tr[p].v] = u;
tr[u].init(p, key);
splay(u, 0);
}
int get_key(int u, int rank){
while (true){
pushdown(u);
if (tr[tr[u].s[0]].size >= rank) u = tr[u].s[0];
else if (tr[tr[u].s[0]].size + 1 == rank) return u;
else rank -= tr[tr[u].s[0]].size + 1, u = tr[u].s[1];
}
return -1;
}
int main(){
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i <= n + 1; i ++ ) insert(i);
while (m -- ){
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
l = get_key(root, l), r = get_key(root, r + 2);
splay(l, 0), splay(r, l);
tr[tr[r].s[0]].flag ^= 1;
}
output(root);
return 0;
}
蒟蒻犯的若至错误
- 伸展操作时，若 \(k=0\) ，需要将 \(root\) 置为 \(u\)
- 查询下标为 \(k\) 的节点时，若该节点在右子树，务必要先修改 \(rank\)，再修改 \(u\)
