题意

给定 $L$，求所有不超过 $L$ 且满足 $\exist n,m > 0,n^3+pn^2=m^3$ 的质数的个数

sol

因式分解，可得 $n^2(n+p) = m^3$。
设 $n^2$ 和 $n+p$ 都含有质因子 $p$，则设 $n = kp$，那么 $n+p = (k+1)p$
则有 $k^2(k+1)p^3=m^3$，可得 $k^2(k+1)$ 一定为立方数，由于 $k^2$ 和 $k+1$ 互质，所以 $k^2$ 和 $k+1$ 均为立方数，由于 $k^2$ 是一个平方数，所以 $k$ 为立方数，那么 $k+1$ 不可能为立方数，矛盾，因此 $n^2$ 和 $n+p$ 不可能都含有质因子
设两者都含有质因子 $q$，则 $n$ 含有质因子 $q$，那么 $p$ 含有质因子 $q$，由于 $p$ 是质数，所以不可能存在其他质因子，矛盾，因此 $n^2$ 和 $n + p$ 互质。
由于 $m^3$ 是一个立方数，因此 $n^2$ 和 $n + p$ 都为立方数，因为 $n^2$ 是平方数，那么 $n$ 也为立方数，设 $n=x^3,n+p=y^3$，那么 $p=y^3 - x^3 =(y-x)(y^2+xy+x^2)$，由于 $p$ 是质数，那么 $(y-x)$ 和 $(y^2+xy+x^2)$ 中，有一个值为 $1$，一个值为 $p$，若 $y^2+xy+x^2 = 0$，则 $x=0,y=1$ 或 $x=1,y=0$，而 $x>0,y>0$，所以 $y-x=1$，则 $y=x+1$。代入可得 $p=(x+1)^2+x(x+1)+x^2=3x^2+3x+1$，考虑到这个值可能不为质数，因此还要判断质数。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
typedef long long LL;

int L;

LL f(int z){
    return (LL) 3 * z * z + 3 * z + 1;
}

bool is_prime(int x){
    if (x == 1) return false;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0) return false;
    return true;
}

int main(){
    scanf("%d", &L);
    int ans = 0;
    for (int z = 1; ; z ++ ){
        if (f(z) > L) break;
        ans += is_prime(f(z));
    }
    printf("%d\n", ans);
}