线性DP（中）

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1.经典例题（3）：最长公共子序列

一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列 $X=<x_1,x_2,\dots ,x_m>$，则另一序列 $Z=<z_1,z_2,\dots ,z_k>$是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列 $<i_1,i_2,\dots ,i_k>$,使得对于所有 $j=1,2,\dots ,k$ 有：$X_{ij}=Zj$

给定两个序列 $X$ 和 $Y$，当另一序列 $Z$ 既是 $X$ 的子序列又是 $Y$ 的子序列时，称 $Z$ 是序列 $X$ 和 $Y$ 的公共子序列。

题目描述

给定两个序列 $X=<x_1,x_2,\dots ,x_m>$ 和 $Y=<y_1,y_2,\dots ,y_n>$。要求找出 $X$ 和 $Y$ 的一个最长公共子序列，并输出长度。

输入

共有两行。每行为一个由大写字母构成的字符串，表示序列 $X$ 和 $Y$。

输出

第一行为一个非负整数。表示所求得的最长公共子序列的长度。若不存在公共子序列．则输出文件仅有一行输出一个整数0。

输入样例

ABCBDAB
BDCABA

输出样例

4

数据范围

$1\le$ 字符串长度 $\le 1000$

提示

最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的区别为：

子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；

也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。字符串长度小于等于1000。

注：本题来源于信息学奥赛一本通第1265题

2.经典例题（3）思路

题目让我们求最长公共子序列，

那我们不妨把 $f$ 数组设成：

$f[i][j]$ 表示在第一个序列的前 $i$ 字母中出现且在第二个序列的前 $j$ 个字母中出现的最长公共子序列长度（默认以 $a[i]$ 和 $b[j]$ 结尾）。

状态转移则可以把每一集合分成四个子集：

两个序列中都不含最后一个字母的；

只含第一个序列中最后一个字母的；

只含第二个序列中最后一个字母的；

两个序列中都含最后一个字母的。

第一种和第四种的表示好推,

第一种：$f[i-1][j-1]$

第四种：直接算不好算，那就先都不含最后一个字母，最后长度加1
$f[i-1][j-1]+1$

有人就说了：“这第二种和第三种不是很好推吗？不就是 $f[i][j-1]$ 和 $f[i-1][j]$ 吗？有什么难推的？”

但真的是这样吗？

$f[i][j-1]$表示在第一个序列的前 $i$ 字母中出现且在第二个序列的前 $j-1$ 个字母中出现的最长公共子序列长度。

$f[i-1][j]$表示在第一个序列的前 $i-1$ 字母中出现且在第二个序列的前 $j$ 个字母中出现的最长公共子序列长度。

有没有发现，这两个序列是没有以同一个字母结尾的，也就是说它们跟我们要求的就不是一个东西。

但即使不以同一个字母结尾又怎样，有重叠又怎样？

用就完了！！！

注1：第一种情况可以被第二种情况和第三种情况替代，所以不用写出来。

注2：第四种情况不一定会出现，所以得加上一个特判。

3.经典例题（3）代码（注释已全部标出）

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
const int N=1005;
int la,lb;
char a[N],b[N];
int f[N][N];
int main(){
    scanf("%s%s",a+1,b+1);//用cin好像不太行，这个题得从下标为1的地方开始输入
    int la=strlen(a+1),lb=strlen(b+1);//求长度 
    for(int i=1;i<=la;i++)
        for(int j=1;j<=lb;j++){
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);//状态转移方程
            if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);//特判
        }
    printf("%d",f[la][lb]);
    return 0;
}

完awa~

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