计数类DP

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1.经典例题——整数划分

一个正整数 n 可以表示成若干个正整数之和，形如：$n=n_1+n_2+\dots +n_k$，其中 $n_1\ge n_2\ge \dots \ge n_k,k\ge 1$。

我们将这样的一种表示称为正整数 $n$ 的一种划分。

现在给定一个正整数 $n$，请你求出 $n$ 共有多少种不同的划分方法。

输入格式

共一行，包含一个整数 $n$。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示总划分数量。

由于答案可能很大，输出结果请对 ${10}^9+7$ 取模。

数据范围

$1\le n\le 1000$

输入样例:

5

输出样例：

7

注：本题来源于AcWing题库第900题

2.经典例题思路（1）

其实我们可以把这个题看成完全背包来做。

没学过的去这里

只要我们把 1~n 的这些数都看成可供选择的物品，每个物品的体积、价值都是自己，且有无限件可取。

一个完全背包就出现了。

这还有什么好说的，直接上代码！

3.经典例题代码（1）

就不放注释了吧，代码太短了，只要把完全背包学会就能看明白。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1005,mod=1e9+7;
int n;
int f[N];
int main(){
    cin>>n;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=i;j<=n;j++)
            f[j]=(f[j]+f[j-i])%mod;
    cout<<f[n];
    return 0;
}

4.经典例题思路（2）

我们应该还可以想到一种方案：

让 $f$ 数组表示所有总和是 $i$ 且恰好能表示成 $j$ 个元素的和的方案。

怎样计算呢？

我们可以把它分成不分去求，一部分最小值是1，一部分大于1，这样就能算出每一个集合了。

最后，在枚举 $f[n][i]$ 加到 $ans$ 数组里，输出，完事。

5.经典例题代码（2）

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1005,mod=1e9+7;
int n,ans;
int f[N][N];
int main(){
    cin>>n;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-j][j])%mod;//最小值是1的情况加最小值不是1的情况
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=f[n][i];
    cout<<ans;
    return 0;
}

完~

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