Dijkstra 算法（2）

Dijkstra 算法（2）

1.例题

题目描述

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。

请你求出 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离，如果无法从 $1$ 号点走到 $n$ 号点，则输出 −1。

输入格式

第一行包含整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $m$ 行每行包含三个整数 $x,y,z$，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$。

输出格式

输出一个整数，表示 $1$ 号点到 $n$ 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 -1。

数据范围

$1\le n,m\le 1.5\times 105,$
图中涉及边长均不小于 $0$，且不超过 $10000$。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 $109$。

输入样例：

3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4

输出样例：

3

注：本题来源于AcWing题库第850题

2.思路

没学过 dijkstra 算法的请到这里去。

首先，我们先来观察一下题目，$1\le n,m\le 1.5\times 105$,

很明显，dijkstra 算法 $O(n^2)$ 的时间复杂度是会TLE的。

这时我们就需要进行优化了。

在寻找一个未标记且最近的点（下面我们把这个点叫做 $t$ 点）时，朴素版 dijkstra 是需要套两重循环来找的，

那我们要在众多数中找一个最小值，能不能用堆来优化呢？

堆排序的时间复杂度为 $O(mlogn)$，也正好符合我们的要求。

所以，我们便可以在每次用 $t$ 点来修改 $j$ 点的最短路时，把 $j$ 点加到堆里去，进行堆排序操作。

这就是优化！

3.代码

本人用的是优先队列，用手写太麻烦了，我相信没多少人会故意去把代码往难里写。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=150005;
int n,m;
int w[N],h[N],e[N],ne[N],idx;
int dist[N];
bool st[N];
struct node{
    int first,second;//代表距离和编号
    bool operator < (const node &x) const{//重载运算符 
        return first>x.first;
    }
};
void add(int a,int b,int c){//用邻接表存储的加边操作
    e[idx]=b;
    w[idx]=c;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}
int dijkstra(){
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    dist[0]=1;
    priority_queue<node> heap;
    node a={0,1};//先用1号点初始一下距离
    heap.push(a);
    while(heap.size()){//判断堆不空也就是看点没有遍历完
        node t=heap.top();
        heap.pop();
        int ver=t.second,distance=t.first;
        if(st[ver]) continue;//如果已经遍历过了就证明是一个冗余备份，直接跳过
        st[ver]=true;
        for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i]){//遍历所有t的能到达的点
            int j=e[i];//遍历到的这个点到t点的距离 
            if(dist[j]>distance+w[i]){
                dist[j]=distance+w[i];
                node p={dist[j],j};//如果老距离大于新距离就更换并入堆 
                heap.push(p);
            }
        }
    }
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return 0x3f3f3f3f;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a,b,w;
        cin>>a>>b>>w;
        add(a,b,w);
    }
    if(dijkstra()==0x3f3f3f3f) cout<<"-1";
    else cout<<dist[n];
    return 0;
}

当然，如果不想写重载运算符也可以去补齐小根堆的两个参数。

完~

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