完全背包问题

完全背包问题

1.完全背包问题介绍

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 $i$ 种物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

2.完全背包问题例题

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 $i$ 种物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，$N$，$V$，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 $v_i$,$w_i$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V\le 1000$

$0<v_i,w_i\le 1000$

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

注：本题来源于AcWing题库第3题

3.完全背包问题思路

这个问题非常类似于01背包问题，只不过是把01背包的选与不选改成了选几件的问题。

但是学01背包分成两个小集合不好分，

那能不能去从0开始枚举取物品的个数，直到超过能取的最大容量。

这样，我们就推出了完全背包问题的状态转移方程：

$$f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k\times v[i]]+k\times w[i])$$

但是，问题又来了。

这样的方法时间复杂度为$O(n\times v^2)$，

很明显，太高了。

4.完全背包问题思路（优化）

我们先根据原始状态转移方程来推。

$f[i][j]$最大值的推法：

$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i-1][j-2v[i]+2w[i]...)$

分出：
f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i-1][j-2v[i]+2w[i]...

---

$f[i][j-v[i]]$最大值的推法：

$f[i][j-v[i]]=max(f[i-1][j-v[i]],f[i-1][j-2v[i]]+w[i]...)$

分出：
f[i-1][j-v[i]],f[i-1][j-2v[i]]+w[i]...

---

可以看到，加粗的两行每一项后者都会比前者少一个$w[i]$

所以前者的最大值要比后者大$w[i]$

那把这些放到状态转移方程里呢？

$$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i])$$

与01背包做对比

$$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])$$

区别只有一点
01背包都是从$i-1$层转移而来的；
完全背包只有前面的是从$i-1$层转移而来的。
建议多看几遍，挺绕，我也是看了好多遍才懂的。

5.完全背包问题代码（优化）

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1005;
int n,m;
int v[N],w[N];//重量和价值数组 
int f[N][N];//f数组表示只装前i个物品且体积不超过j的最大价值 
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//确定j能装得下v[i] 
        }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

7.完全背包问题代码 （再优化）

既然01背包可以继续优化，那完全背包呢？

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1005;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    cout<<f[m];
    return 0;
}

完awa~

肝了3个多小时的博客。

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