完全背包问题
完全背包问题
1.完全背包问题介绍
有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 \(i\) 种物品的体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
2.完全背包问题例题
有 \(N\) 种物品和一个容量是 \(V\) 的背包，每种物品都有无限件可用。
第 \(i\) 种物品的体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。
输入格式
第一行两个整数，\(N\)，\(V\)，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行，每行两个整数 \(v_i\),\(w_i\)，用空格隔开，分别表示第 \(i\) 种物品的体积和价值。
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。
数据范围
\(0<N,V\leq1000\)
\(0<v_i,w_i\leq1000\)
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10
注：本题来源于AcWing题库第3题
3.完全背包问题思路
这个问题非常类似于01背包问题，只不过是把01背包的选与不选改成了选几件的问题。
但是学01背包分成两个小集合不好分，
那能不能去从0开始枚举取物品的个数，直到超过能取的最大容量。
这样，我们就推出了完全背包问题的状态转移方程：
但是，问题又来了。
这样的方法时间复杂度为\(O(n\times v^2)\)，
很明显，太高了。
4.完全背包问题思路（优化）
我们先根据原始状态转移方程来推。
\(f[i][j]\)最大值的推法：
\(f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i-1][j-2v[i]+2w[i]...)\)
分出：
f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i-1][j-2v[i]+2w[i]...
\(f[i][j-v[i]]\)最大值的推法：
\(f[i][j-v[i]]=max(f[i-1][j-v[i]],f[i-1][j-2v[i]]+w[i]...)\)
分出：
f[i-1][j-v[i]],f[i-1][j-2v[i]]+w[i]...
可以看到，加粗的两行每一项后者都会比前者少一个\(w[i]\)
所以前者的最大值要比后者大\(w[i]\)
那把这些放到状态转移方程里呢？
与01背包做对比
区别只有一点
01背包都是从\(i-1\)层转移而来的；
完全背包只有前面的是从\(i-1\)层转移而来的。
建议多看几遍，挺绕，我也是看了好多遍才懂的。
5.完全背包问题代码（优化）
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1005;
int n,m;
int v[N],w[N];//重量和价值数组
int f[N][N];//f数组表示只装前i个物品且体积不超过j的最大价值
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++){
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//确定j能装得下v[i]
}
cout<<f[n][m];
return 0;
}
7.完全背包问题代码 （再优化）
既然01背包可以继续优化，那完全背包呢？
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1005;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=v[i];j<=m;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
cout<<f[m];
return 0;
}
完awa~
肝了3个多小时的博客。
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