Floyd 算法

Floyd 算法

1.Floyd算法介绍

Floyd算法是最短路问题里的一种，用来求任意一对顶点之间的最短路径。时间复杂度为 $O(n^3)$，适用于负边权的情况。

2.Floyd算法经典题目

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

再给定 $k$ 个询问，每个询问包含两个整数 $x$ 和 $y$，表示查询从点 $x$ 到点 $y$ 的最短距离，如果路径不存在，则输出impossible。

数据保证图中不存在负权回路。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,m,k$。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $x,y,z$，表示存在一条从点 $x$ 到点 $y$ 的有向边，边长为 $z$。

接下来 $k$ 行，每行包含两个整数 $x,y$，表示询问点 $x$ 到点 $y$ 的最短距离。

输出格式

共 $k$ 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。

数据范围

$1\le n\le 200,$

$1\le k\le n2$

$1\le m\le 20000,$

图中涉及边长绝对值均不超过 $10000$。

输入样例：

3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3

输出样例：

impossible
1

3.Floyd算法思路

基于动态规划实现。

如果我们已经知道了图中任意两点间只允许以编号 $<=k-1$ 的点作为中转时的最短路，就能以此推出任意两点间只允许以编号 $<=k$ 的点作为中转时的最短路。

核心代码

if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]) d[i][j]=d[i][k]+d[k][j]

4.Floyd算法代码

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=205;
int n,m,k;
int d[N][N];
void floyd(){
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(i==j) d[i][j]=0;//在存邻接矩阵时，对角线上的数要为零 
            else d[i][j]=0x3f3f3f3f;//否则存正无穷 
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int a,b,w;
        cin>>a>>b>>w;
        d[a][b]=min(d[a][b],w);
    }
    floyd();
    for(int i=1;i<=k;i++){
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        if(d[x][y]>0x3f3f3f3f/2) cout<<"impossible"<<endl;
        else cout<<d[x][y]<<endl;
    }
    return 0;
}  

完awa~

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