01背包问题

01背包问题

1.01背包问题介绍

01背包是指有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

01背包中的“01”是指每个物品只能选或不选，也就是选1次和选0次。

2.01背包问题例题

题目描述

一个旅行者有一个最多能装 \(V\) 公斤的背包，现在有 \(N\) 件物品，它们的重量分别是 \(W_1,W_2,...,W_n\)，它们的价值分别为\(V_1,V_2,...,V_n\)，求旅行者能获得最大总价值。

输入

第一行：两个整数，M(背包容量，\(M<=200\))和 \(N\)(物品数量，\(N<=30\))；

第 \(2..N+1\) 行：每行二个整数 \(W_i,V_i\) ，表示每个物品的重量和价值。

输出

仅一行，一个数，表示最大总价值。

输入样例

10 4
2 1
3 3
4 5
7 9

输出样例

12

注：本题来自AcWing题库第2题

3.01背包问题思路

Dp一般分为两个思考部分

第一个是状态表示，也就是 \(f\) 数组。

在01背包问题中，\(f[i][j]\) 代表从前 \(i\) 个物品中选且总重量不超过 \(j\) 的选法集合，它的值是所有算法集合的最大值。

第二个是状态计算，也就是状态转移方程。

前一阶段的终点就是后一阶段的起点，对前一阶段的状态作出某种决策，产生后一阶段的状态，这种关系描述了由k阶段到k+1阶段状态的演变规律，称为状态转移方程。

大致是这个意思，具体可能有错误

01背包问题可以把 \(f[i][j]\) 分成含 \(i\) 和不含 \(i\) 的集合，然后取最大值。所以动态转移方程为：

\[f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]) \]

\(f[i-1][j]\)：在这个集合里取不含 \(i\) 的小集合。

\(f[i-1][j-v[i]]+w[i]\)：用Y总的话来说就是“曲线救国”。要想直接求含 \(i\) 的集合很难，所以我们可以先将第 \(i\) 个物品的重量减去，再在不含 \(i\) 的集合里找，最后加上 \(i\) 的权重就好了。

注：在集合的划分上一般要做到不重不漏，只有个别情况不用

4.01背包问题代码

#include<iostream>
#define MAXN 1005
using namespace std;
int v[MAXN],w[MAXN],f[MAXN][MAXN];
int main(){
    int n,m;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

5.01背包问题优化

我们通过观察可以得出，\(f\) 数组的第一维只用到了 \(i-1\)，所以我们可以用滚动数组存储，优化掉第一维。

状态转移方程：

\[f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]) \]

6.代码(优化)

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN=1005;
int v[MAXN],w[MAXN],f[MAXN];
int main(){
    int n,m;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    cout<<f[m];
    return 0;
}

完awa~

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