高精度算法

高精度算法

本文内容较多，信息量偏大，请仔细阅读。

1.高精度算法简介

高精度算法（High Accuracy Algorithm）是处理大数字的数学计算方法。在一般的科学计算中，会经常算到小数点后几百位或者更多，当然也可能是几千亿几百亿的大数字。一般这类数字我们统称为高精度数，高精度算法是用计算机对于超大数据的一种模拟加，减，乘，除，乘方，阶乘，开方等运算。对于非常庞大的数字无法在计算机中正常存储，于是，将这个数字拆开，拆成一位一位的，或者是四位四位的存储到一个数组中， 用一个数组去表示一个数字，这样这个数字就被称为是高精度数。高精度算法就是能处理高精度数各种运算的算法，但又因其特殊性，故从普通数的算法中分离，自成一家。

2.高精数读入

方法一：使用字符数组

$gets$ 遇回车符则认为当前字符串结束(可以读入空格)；

$scanf$、$cin$ 遇空格或回车符则认为当前字符串结束。

#include<iostream> 
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
using namespace std;  
char s[200];
int main(){
   gets(s);//注，gets()在最新的c++里已经不能用了
   cout<<strlen(s)<<endl<<s;  
   return 0;
}
 
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
using namespace std;  
char s[200];
int main(){
   cin>>s;  
   cout<<strlen(s)<<endl<<s;  
   return 0;
}
 
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
using namespace std;  
char s[200];
int main(){
   scanf("%s",s);  
   cout<<strlen(s)<<endl<<s;  
   return 0;
}

方法二：使用字符串

$cin$ 遇空格或回车符则认为当前字符串结束；

$getline$ 遇回车符则认为当前字符串结束(可以读入空格)。

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
using namespace std;  
string s;
int main(){
   getline(cin,s);  
   cout<<s.length()<<endl<<s;  
   return 0;
}
 
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
using namespace std;  
string s;
int main(){
    cin>>s;  
    cout<<s.length()<<endl<<s;  
    return 0;
}

3.高精数存储

s1="123456789"

a[0]	a[1]	a[2]	a[3]	a[4]	a[5]	a[6]	a[7]	a[8]
9	8	7	6	5	4	3	2	1

s2="3456"

a[0]	a[1]	a[2]	a[3]
6	5	4	3

一般是倒着存(a[0]是个位，最后的元素是最高位)。

1、需要先计算个位,逆序存放方便对齐。

2、方便进位。

代码：

la=s.size();//用la存放字符串s的位数 
for(i=0;i<la;i++)//将数串s转换为数组a，注意：倒序存储
	a[i]=s[la-1-i] -'0';

4.高精加

进位

a[6]	a[5]	a[4]	a[3]	a[2]	a[1]	a[0]
+		b[4]	b[3]	b[2]	b[1]	b[0]
c[6]	c[5]	c[4]	c[3]	c[2]	c[1]	c[0]

加法法则：个位对齐，逢十进一。

代码实现

方法一：设置一个进位变量 $m$

if(la>lb) lc=la;//lc取最长位
else lc=lb;
m=0;
for(int i=0;i<lc;i++){	
    c[i]=(m+a[i]+b[i])%10;  
    m=(m+a[i]+b[i])/10;
}
if(m>0){//最高位有进位时	
    c[lc]=m; 
    lc++;
}  

方法二：先计算，最后处理进位

for(int i=0;i<lc;i++)  
    c[i]=a[i]+b[i];
for(int i=0;i<lc;i++){ 
    c[i+1]=c[i+1]+c[i]/10;  
    c[i]=c[i]%10;
}
if(c[lc]>0) lc++;

	a[3]	a[2]	a[1]	a[0]
	6	2	4	7
+	3	7	9	5
	9	9	13	12
1	0	0	4	2
c[4]	c[3]	c[2]	c[1]	c[0]

改进：去掉 $c$ 数组

for(int i=0;i<la;i++)  
    a[i]=a[i]+b[i];
for(int i=0;i<a;i++){ 
    a[i+1]+=a[i]/10;
    a[i]%=10;
}
if(a[la]>0) la++;

代码

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main(){
    int a[205]={0},b[205]={0};
    string a1,b1;
    cin>>a1>>b1;
    int la=a1.length(),lb=b1.length();
    for(int i=0;i<la;i++)
        a[i]=a1[la-1-i]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++)
        b[i]=b1[lb-1-i]-'0';
    if(lb>la) la=lb;
    for(int i=0;i<la;i++)
        a[i]+=b[i];
    for(int i=0;i<la;i++){
        a[i+1]+=a[i]/10;
        a[i]%=10;
    }
    if(a[la]>0) la++;
    while(la>0&&a[la-1]==0) la--;//删除前导零
    for(int i=la-1;i>=0;i--)
        cout<<a[i];
    return 0;
}

5.高精减(跟高精加区别不大，所以不细说了)

借位

for(int i=0;i<la;i++){ 
    if(a[i]<b[i]){	
        a[i+1]--;//跟一般的竖式思想一样，前一位减1
        a[i]+=10;//本位加十
    }
    a[i]-=b[i];
}

代码(不是最终版)

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main(){
    int a[205]={0},b[205]={0};
    string a1,b1;
    cin>>a1>>b1;
    int la=a1.length(),lb=b1.length();
    if(a1==b1){
        cout<<0;
        return 0;
    }
    for(int i=0;i<la;i++)
        a[i]=a1[la-1-i]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++)
        b[i]=b1[lb-1-i]-'0';
    for(int i=0;i<la;i++){
        if(a[i]<b[i]){
            a[i]+=10;
            a[i+1]-=1;
        }
        a[i]-=b[i];
    }
    while(la>0&&a[la-1]==0) la--;
    for(int i=la-1;i>=0;i--)
        cout<<a[i];
    return 0;
}

但我们还可能遇到结果是负数的情况

所以，我们要在代码前面判断哪个数大。

如果第二个数大，那么我们就先输出负号，再让第二个数去减第一个数。

判断代码如下：

if(la<lb||la==lb&&a1<b1){
    swap(a1,b1);
    swap(la,lb);
    cout<<"-";
}

在原始代码上加上判断代码即可

6.高精乘

高精乘单精

		9	9	9
		*	9	9
		891	891	891
9	8	9	0	1

分析：

1.$a$ 的每一位都单独与 $b$ 相乘；

2.再由低到高位依次处理进位；

3.最后处理最高位。

代码(高精乘单精)

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main(){
    int la,b,m,a[260]={0};  
    string a1;   
    cin>>a1>>b;  
    la=a1.size();
    for(int i=0;i<la;i++)  
        a[i]=a1[la-i-1]-'0';
    for(int i=0;i<la;i++)  
        a[i]=a[i]*b;
    for(int i=0;i<la;i++){  
        a[i+1]=a[i+1]+a[i]/10;
        a[i]=a[i]%10;
    }
    m=a[la]; //最高位 
    while(m>0){	//可能有多次进位
        a[la]=m%10; 
        m/=10;
        ++la;	
    }
    for(int i=la-1;i>=0;i--)
        cout<<a[i];
    return 0;
    
}

高精乘高精

分析：

假设乘数和被乘数的长度分别为 $la$ 和 $lb$，

则最后的乘积长度最长为 $la+lb$ ，最小是 $la+lb-1$。

下标关系：

		a[2]	a[1]	a[0]
			b[1]	b[0]
		a[2]*b[0]	a[1]*b[0]	a[0]*b[0]
	a[2]*b[1]	a[1]*b[1]	a[0]*b[1]
c[4]	c[3]	c[2]	c[1]	c[0]

$$c[i+j]+=a[i]\ast b[j]$$

代码(高精乘高精)

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main(){
    int a[205]={0},b[205]={0},c[205]={0};
    string a1,b1;
    cin>>a1>>b1;
    int la=a1.size(),lb=b1.size(),lc=la+lb;
    for(int i=0;i<la;i++)
        a[i]=a1[la-i-1]-'0';
    for(int i=0;i<lb;i++)
        b[i]=b1[lb-i-1]-'0';
    for(int i=0;i<la;i++)
        for(int j=0;j<lb;j++)
            c[i+j]+=a[i]*b[j];
    for(int i=0;i<lc;i++){
        c[i+1]+=c[i]/10;
        c[i]%=10;
    }
    while(lc>0&&c[lc-1]==0) lc--;
    for(int i=lc-1;i>=0;i--)
        cout<<c[i];
    return 0;
}

7.高精除

高精除以单精(与手工除类似)

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;
int main(){
    int a[205]={0},b,c[205]={0};
    string a1;
    cin>>a1>>b;
    int la=a1.size(),lc=0,ys=0;
    for(int i=0;i<la;i++)
        a[i]=a1[i]-'0';
    for(int i=0;i<la;i++){
        c[i]=(ys*10+a[i])/b;
        ys=(ys*10+a[i])%b;
    }
    while(c[lc]==0&&lc<la-1) lc++;
    for(int i=lc;i<la;i++)
        cout<<c[i];
    return 0;
}

高精除以高精

大体思路：

高精度除法，这个和加减乘一样，我们都要从手算的角度入手。举 一个例子，比如 $524134$ 除以 $123$，结果是 $4261$。

第一位 $4$ 的来源是把 $524$ 和 $123$ 对齐，然后进行循环减法，循环了 $4$ 次，余$32$。

将 $32134$ 的前三位 $321$继续和 $123$ 对齐，循环减法 $2$ 次，余 $75$。

把 $7534$ 的前三位$753$ 和 $123$ 对齐，循环减法 $6$ 次，余$15$。

将 $154$ 和 $123$ 对齐，只能减 $1$ 次，所以结果是 $4261$。

终止程序。

完awa~

敲了360行，人快废了。

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