网络流建模专题

struct DI {
    ll n, m, S, T;
    ll h[N], ne[M], to[M], f[M], idx;
    void add(ll u, ll v, ll w) {
        ne[idx] = h[u], to[idx] = v, f[idx] = w, h[u] = idx++;
        ne[idx] = h[v], to[idx] = u, f[idx] = 0, h[v] = idx++;
    }
    queue<ll> q;
    ll d[N];
    ll cur[N];
    void init() {
        for (int i = 0; i <= idx; i ++)h[i] = -1;
        idx = 0;
    }
    bool bfs() {
        while (!q.empty()) q.pop();
        q.push(S);
        memset(d, -1, sizeof d);  // d数组是深度，防止绕进环中去。
        d[S] = 0;
        cur[S] = h[S];  //必然第一个弧就是，但是容易忘。
        while (!q.empty()) {
            auto u = q.front();
            q.pop();
            for (ll i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
                ll v = to[i];
                if (f[i] && d[v] == -1) {  //找增广路，所以必须f[i] > 0
                    d[v] = 1 + d[u];
                    cur[v] = h[v];  //只会遍历一次。
                    if (v == T) return 1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    ll dfs(ll u, ll limit) {
        if (u == T) return limit;  //容易忘。终点直接返回
        ll flow = 0;               //点流向后面的。
        for (ll i = cur[u]; ~i && flow < limit;
             i = ne[i]) {  //从当前弧开始，如果之前
            ll v = to[i];
            cur[u] = i;  //回溯到u点之前，然后又到了u点，没必要从头开始了。
            if (d[v] == d[u] + 1 && f[i]) {  // d是按照层数走，f必须大于0。
                ll t = dfs(v, min(f[i], limit - flow));  // t是走向出去的流量。
                if (t <= 0) d[v] = -1;  //一滴也没有了，点就可以删掉了。
                f[i] -= t;
                f[i ^ 1] += t;  //更新残留网络。
                flow += t;  //当前总的流向后面的加上当前v流向后面的。
            }
        }
        return flow;
    }
    ll dinic() {
        ll ret = 0, flow;
        while (bfs()) {
            while (flow = dfs(S, inf)) ret += flow;
        }
        //init();
        return ret;
    }
    void makemap() {
        init();
        scanf("%d", &n);
        S = 0;
        T = N-1;
        for (int i = 1; i <= n * 2; i ++)add(S, i, 1);
        for (int i = 1; i <= 2 * n; i ++) {
            int u, v;
            scanf("%d%d", &u, &v);
            u += 3*n;
            v += 3*n;
            add(i, u, 1);
            add(i, v, 1);
            
        }
        for (int i = 1; i <= n; i ++) {
            add(i + 3 * n, T, 2);
        }
    }
}dinic;

• P2754 [CTSC1999]家园 / 星际转移问题
  按照时间建立分层图建模，注意飞船转移的时候当飞船返回也要建立一条边。

• P2526 [SHOI2001]小狗散步
  发现是一个二分图的关键在于，是否能找到他们是一一对应的关系，这个小狗他每次只出去一个经典，就很无语。

• P2057 [SHOI2007]善意的投票 / [JLOI2010]冠军调查
  冲突模型最小割，睡觉不睡觉一定会分成两个集合，然后好朋友们之间流量是1，所以建立双向边跑最大流得到最小割，就是把他们分成睡觉和不睡觉最小冲突的分法。

• [TJOI2013]攻击装置
  经中之典的建模，一些关系不能冲突，求互不冲突最大数量，最大独立集，就是所有点数量减去最大匹配。

• Penguins LightOJ - 1154-vj
  拆点，会发现，跳跃之间流量要赋成正无穷，所以如果要限制跳跃次数，就应该把一个冰拆成两层，用 \(limit\) 跳跃次数作为流量从底层跳到高层，然后再跳向其他的底层，然后枚举汇点，注意汇点连接的是底层

• P1251 餐巾计划问题
  如果题目中要求每天都要满足条件，类似的，那么就可以设为将每个要满足的和汇点连边，容量设为应满足的条件。

• P1345 [USACO5.4]奶牛的电信Telecowmunication
  经中之典最小割，如果要求删去最小数量边，好求。如果要求删去数量的点，那么就要使得每个点拆成出度和入度，之间的流量限制为 \(1\), 然后就可以出度点连接入度点了，权值设为正无穷，注意不要另设一个源汇点，因为如果求最小割，还是点之间的，想想就知道不行。

• HDU 3605
  经中之典状态压缩，\(n\) 太多了没想到 \(m\) 很小，然后就可以多记录状态了。

• P1361 小M的作物
  经中之典最小割模型，种两种地方，有不同的收获，并且组合种某种地方也有格外收获，会发现如果从 \(A\) 到 \(B\) 就是最小割模型。

• P4843 清理雪道
  发现，题目要求每条边必须走过，那么所以一定是所有边流量下界为1，然后流量上界为inf，所以就是建好无源汇上下界可行流，然后搞有源汇上下界最小流。

• P4043 [AHOI2014/JSOI2014]支线剧情
  经典上下界最小费用可行流，就是定好上下界和费用，然后返回的时候连反向正无穷边。注意，得到新图后，最小费用是先计算好下界流量乘以相应费用，然后在计算附加图的最小费用。

• P3980 [NOI2008] 志愿者招募
  经典上下界最小费用可行流，但是这个没算原图的流量下界乘费用，因为反边的流量下界为0。

• P4311 士兵占领
  经典网格图，然后就是最开始的想法是，作为无源汇可行流来解，即只有行的入点出点，列的入点出点，网格上的点，但是这样边和点数量过多。可是如果想象成类似二分图，把行和列拿出来，然后虚拟源点连接行，然后列连接虚拟汇点，然后行和列之间就可以连边，规定好流量上下界即可解决。

• P4553 80人环游世界
  简单上下界费用流建模。景点国家的出入点决定到这个国家几个人，然后源点连出流量为人数的点到一个小源点，然后从小源点连向每个景点，然后景点之间机票可以连边，从景点的出点连向景点的入点。

• P1344 [USACO4.4]追查坏牛奶Pollutant Control
  最小割神仙题目，不仅让求最小的割，并且求得的是边的割集的最小权值和，一种神仙做法是，将每个边权转化为， \(w = x \times C + y\)，其中 \(\sum y < C\)，所以就是 \(y\) 就是1，意义是一条边，然后最后求得答案，割的数量就是 \(maxflow \mod C\)，最小边权和就是 \(\frac{maxflow}{C}\).