数论
最大公约数\(\gcd\)
- 求最大公约数有两种方法，一种是辗转相除法，另一种是更相减损法
辗转相除法
\(\gcd(a, b) = \gcd(b, a\mod b)\)
更相减损法
\(\gcd(a, b) = \gcd(a-b, b)\)
欧拉函数\(\varphi\)
- \(\varphi(n)\) 表示小于等于 \(n\) 和 \(n\) 互质的个数
由唯一分解定理，设 \(n = \prod_{i=1}^{s} p_{i}^{k_i}\)，
由于 \(\varphi\) 函数的积性，
\[\varphi(n) = \prod \varphi(p_{i}^{k_i})
\]
因为，\(p^k\) 中有 \(p^{k-1}\) 个数能整除 \(p\) 的数, 所以 \(\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}\)。
\[\varphi(n) = \prod (p_{i}^{k_i} -p_{i}^{k_i-1} )
\]
\[\varphi(n) = \prod p_{i}^{k_i}(1 -\frac{1}{p_i} )
\]
\[\varphi(n) = n\prod (1 -\frac{1}{p_i} )
\]
\[\varphi(n) = n\prod (\frac{p_i-1}{p_i} )
\]
