三元环

三元环

• 问题描述，给定无向图，然后求出三元环个数

• 建图做法：先把无向图转化为 \(DAG\) ，把边去重，然后把度数从小的点连向度数大的点。

• 显然的是，每个三元环只能被找到一次。

• 时间复杂度证明：

可知边 \((x, y)\) 被遍历的次数是 \(out_y\)，所以总复杂度是 \(m\times out_i\)
然后假设所有点 \(out_i< \sqrt m\)，那么上界就是 \(m \times \sqrt m\)。
假设有点度数存在 \(out_i> \sqrt m\)，因为是度数低的连向度数高的，所以至少有 \(\sqrt m\) 点连向 \(i\)，并且度数也是 \(\sqrt m\)，所以，其实度数最大只能是小于 \(\sqrt m\)，不能大于 \(\sqrt m\)。
所以总的时间复杂度是 \(O(m \sqrt m)\) 的。

• 找环

for (int i = 1; i <= n; i ++) {
    for (auto v:G[i]) vis[v] = i;
    for (auto v:G[i]) {
        for (auto vv : G[v]) {
            if (vis[vv] == i)x++;
        }
    }
}