AT5295 [ABC154F] Many Many Paths

原题链接

• 题意：斯努克站在一个二维平面上。在一次操作中，他可以向 \(x\) 轴正方向或是 \(y\) 轴正方向移动一步。定义函数 \(f(r,c)\) 为通过上述操作，斯努克从 \((0,0)\) 走到 \((r,c)\) 的方案总数。现在给定 \(r_1,r_2,c_1\) 和 \(c_2\)，请你求出所有 \(f(i,j)\) 之和，其中 \(r_1 \le i \le r_2\) 且 \(c_1 \le j \le c_2\)。形式化的，请你求出\(\sum\limits_{i=r_1}^{r_2}\sum\limits_{j=c_1}^{c_2}f(i,j)\) 的值。由于结果可能很大，请将结果对 \(10^9+7\) 取模。
• 题解：首先，从 \(0, 0\) 到 \(i, j\) 的距离是 \(C(i + j, i)\) 意义代表是必须走 \(i + j\) 步，然后必须走 \(i\) 步横着的或者 \(C(i + j, j)\) 或者走 \(j\) 步竖着的。然后开始愉快推柿子了，即 \(C^{m + 1}_{n + m + 1} = \sum\limits_{i=0}^{n} C^{m }_{m + i}\) 原柿子是这样的

\[\sum\limits_{i=r_1}^{r_2}\sum\limits_{j=c_1}^{c_2} C^{i}_{i+j} \]

\[\sum\limits_{i=r_1}^{r_2} (C^{i + 1}_{i+c2 + 1} - C^{i + 1}_{i+c1+1-1}) \]

化成了一维。然后就是逆元预处理的话会快一倍。

• 代码：

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>

using namespace std;
typedef long long ll;
const ll NN = 1e7 + 99;
const ll N = 2e6 + 99;
const ll mod = 1e9 + 7;

const ll maxn = 1e7;
ll fac[N];
ll inv_fac[N];
ll q_pow(ll a, ll k) {
    ll ret = 1;
    ll x = a;
    while (k) {
        if (k & 1) (ret *= x) %= mod;
        k >>= 1;
        (x *= x) %= mod;
    }
    return ret;
}

ll inv(ll a) { return (q_pow(a, mod - 2) % mod + mod) % mod; }
void init() {
    fac[0] = 1;

    inv_fac[0] = 1;
    fac[1] = 1;
    for (ll i = 1; i < N; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
        inv_fac[i] = inv(fac[i]);
    }
}

ll C(ll n, ll m) { return fac[n] * inv_fac[m] % mod * inv_fac[n - m] % mod; }
void solve() {
    ll sum = 0;
    ll c1, c2, r1, r2;
    cin >> r1 >> c1 >> r2 >> c2;
    for (int i = r1; i <= r2; i++) {
        sum = (sum +
               ((C(i + 1 + c2, i + 1) - C(i + c1, i + 1)) % mod + mod) % mod) %
              mod;
    }
    cout << sum % mod << endl;
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    init();
    ll t = 1;
    while (t--) solve();
    return 0;
}