旅行商问题

91. 最短Hamilton路径

题意：旅行商问题，即从 \(1\) 走到 \(n\) 不重不漏，然后求最小距离。
题解：状态压缩dp,显然的是，要从某种状态到某种状态并且合法，然后取 \(min\)，然后全部遍历。所以设 \(dp_{i, j}\) 的含义是，最后一个点是 \(i\) 点，然后走过了 \(j\) 这个 \(01\) 串的有 \(1\) 的点。然后要想的是顺序问题，那么我们必然是从上一个点推到 \(i\) 点，所以可以遍历所有点，然后得到 \(k\) 点，\(k\) 点一定是在这个 \(j\) 里面，然后那么 $$dp_{i, j} = MIN{dp_{i, j}, dp_{k, j - (1 >> i)}}$$。
代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 21;
int dp[N][1 << N];
int w[N][N];
void solve() {
    int n;cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> w[i][j];
        }
    }
    memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
    dp[0][1] = 0;
    for (int j = 0; j < 1 << n; j++) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if ((j >> i) & 1) {
                for (int k = 0; k < n; k++) {
                    if (((j - (1<<i)) >> k) & 1 ) {
                        dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j - (1 << i)] + w[k][i]);
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[n - 1][(1 << n) - 1] << endl;
}
int main() {
    int t = 1;//cin >> t;
    while (t--) solve();
    return 0;
}

E - Traveling Salesman among Aerial Cities

题意：旅行商问题裸题，只不过多出来一项操作是不重不漏走完，并且还要回到原点，也没啥，如果理解了旅行商问题的 \(dp\) 方程代表含义，就很简单。
代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;

const ll N = 29;

struct node {
    ll x, y, z;
}a[22];
bool check(ll j, ll k, ll n) {
    for (ll i = 0; i < n; i++) {
        if (j >> i & 1) {
            for (ll ii = -1; ii <= 1; ii++) {
                ll d=  i + ii;
                d = max((ll)0, d);
                if ( k >> d  & 1 ) {
                    return 0;
                }
            }
        }
    }
    return 1;
}

ll w[N][N];
ll dp[N][1 << 18];
void solve() {
    ll n;cin >> n;
    for (ll i = 0; i < n; i++) cin >> a[i].x >> a[i].y >> a[i].z;
    for (ll i = 0; i < n; i++) {
        for (ll j = 0; j < n; j++) 
        {
            if (i == j)continue;
            w[i][j] = abs(a[i].x - a[j].x) + abs(a[i].y - a[j].y) + max((ll)0, a[j].z - a[i].z);
            w[j][i] = abs(a[i].x - a[j].x) + abs(a[i].y - a[j].y) + max((ll)0, a[i].z - a[j].z);
        }
    }
    memset(dp , 0x3f, sizeof dp);
    dp[0][1] = 0;
    for (ll j = 0; j < 1 << n; j++) {
        for (ll i = 0; i < n; i++) {
            for (ll k = 0; k < n; k++) {
                if ( (j - (1 << i) ) >> k & 1 && (j - (1 << i) )>=0) {
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j - (1 << i)] + w[k][i]);
                }
            }
        }
    }
    ll ans = 0x7fffffff;
    for (ll i = 1; i < n; i++) ans = min(ans, dp[i][ (1 << n) - 1] + w[i][0]);//多出来了这个，就是知道了dp数组含义后，就很简单
    cout << ans << endl;
}
signed main() {
    ll t = 1;//cin >> t;
    while (t--) solve();
    return 0;
}