ABC366D 题解

第一眼是想写 $kd-tree$ 的。

然后发现这就是一道三维前缀和的板子题。

三维前缀和

要想学习三维前缀和，我们首先得了解前缀和的概念，并且学会一维、二维前缀和。

什么是前缀和

前缀和是容斥原理的典型应用。这种优化方式可以使求和操作的时间复杂度降低到 $O(1)$（但是需要提前预处理）。

一维前缀和 & 二维前缀和

对于一维的一个序列 $a_i$，如果我们有很多询问，每次询问让你求一个区间 $[l,r]$ 的和，我们就可以使用一维前缀和来优化。

具体地，我们设前缀序列 $g_i = g_{i-1} + a_i$，那么不难发现，区间 $[l, r]$ 的和就是 $g_r - g_{l - 1}$。

对于一个二维的序列同理，我们设 $g_{i,j} = g_{i-1,j} + g_{i,j-1} - g_{i-1,j-1} + a_{i,j}$，就可以求出任意部分的和。

在一维序列中，红色部分的和就是黑色部分的和减掉绿色部分的和。那么前缀和的公式就是

在二维序列中，红色部分的和就是黑色部分的和减掉绿色部分的和，然后再加上黄色部分的和（因为黄色部分被减了 $2$ 次）。

三维前缀和

三维前缀和同理，那么下面给出三维前缀和的图。

可以发现...这完全看不懂啊！

没关系，我们将它拆开研究。

我们可以看到，黑色部分包括了要求的红色部分。那么我们就可以用黑色部分减掉剩余的部分，然后求出红色部分。

我们需要减掉这三个绿色部分：

但是这时候又会发现一个问题，绿色部分的交（如图）被重复减了。

所以我们需要找到绿色部分两两的交，并且加回来。即下图的黄色部分。

这时候，我们发现还是不对，黄色部分也有交！

那么我们还需要将黄色部分的交（即下图粉色部分）再减掉。

那么反过来，我们也可以推出前缀和的公式：

$$g_{i,j,k} = g_{i-1,j,k}+g_{i,j-1,k}+g_{i,j,k-1}\\-g_{i-1,j-1,k}-g_{i-1,j,k-1}-g_{i,j-1,j-1}\\+g_{i-1,j-1,k-1}+a_{i,j,k}$$

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然后我们来看题。

可以发现这玩意就是一道三维前缀和的板子题，非常简单。

设 $prefix[x][y][z]$ 为从 $(1,1,1)$ 到 $(x,y,z)$ 的区域的前缀和，我们需要查询从 $(Lx, Ly, Lz)$ 到 $(Rx, Ry, Rz)$ 的子立方体的和，公式为：

$$[ \text{Sum} = \text{prefix}[Rx][Ry][Rz] ]$$

$$[ - \left( Lx > 1 ? \text{prefix}[Lx-1][Ry][Rz] : 0 \right) ]$$

$$[ - \left( Ly > 1 ? \text{prefix}[Rx][Ly-1][Rz] : 0 \right) ]$$

$$[ - \left( Lz > 1 ? \text{prefix}[Rx][Ry][Lz-1] : 0 \right) ]$$

$$[ + \left( Lx > 1 \text{ and } Ly > 1 ? \text{prefix}[Lx-1][Ly-1][Rz] : 0 \right) ]$$

$$[ + \left( Lx > 1 \text{ and } Lz > 1 ? \text{prefix}[Lx-1][Ry][Lz-1] : 0 \right) ]$$

$$[ + \left( Ly > 1 \text{ and } Lz > 1 ? \text{prefix}[Rx][Ly-1][Lz-1] : 0 \right) ]$$

$$[ - \left( Lx > 1 \text{ and } Ly > 1 \text{ and } Lz > 1 ? \text{prefix}[Lx-1][Ly-1][Lz-1] : 0 \right) ]$$

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prefix[Rx][Ry][Rz] 是查询区域的总和的基础。

减去 $(Lx-1)$ 平面上的部分，表示区域中不包括 $Lx$ 之前的部分。

减去 $(Ly-1)$ 平面上的部分，表示区域中不包括 $Ly$ 之前的部分。

减去 $(Lz-1)$ 平面上的部分，表示区域中不包括 Lz 之前的部分。

加上 $(Lx-1, Ly-1)$ 立方体的部分，因为这个区域被多次减去了。

加上 $(Lx-1, Lz-1)$ 立方体的部分，因为这个区域被多次减去了。

加上 $(Ly-1, Lz-1)$ 立方体的部分，因为这个区域被多次减去了。

减去 $(Lx-1, Ly-1, Lz-1)$ 立方体的部分，因为这个区域被多次加回来了。

code

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;

const int MAXN = 100; 

int A[MAXN+1][MAXN+1][MAXN+1];

int prefix[MAXN+1][MAXN+1][MAXN+1];

int main() {
	int n, q;
	
	
	cin >> n ;
	
	// 读取三维数组数据
	for (int x = 1; x <= n; ++x) {
		
		for (int y = 1; y <= n; ++y) {
			
			for (int z = 1; z <= n; ++z) {
				
				cin >> A[x][y][z];
				
			}
		}
	}
	
	// 计算三维前缀和
	for (int x = 1; x <= n; ++x) {
		
		for (int y = 1; y <= n; ++y) {
			
			for (int z = 1; z <= n; ++z) {
				
				prefix[x][y][z] = A[x][y][z]
				
				+ (x > 1 ? prefix[x-1][y][z] : 0)
				
				+ (y > 1 ? prefix[x][y-1][z] : 0)
				
				+ (z > 1 ? prefix[x][y][z-1] : 0)
				
				- (x > 1 && y > 1 ? prefix[x-1][y-1][z] : 0)
				
				- (x > 1 && z > 1 ? prefix[x-1][y][z-1] : 0)
				
				- (y > 1 && z > 1 ? prefix[x][y-1][z-1] : 0)
				
				+ (x > 1 && y > 1 && z > 1 ? prefix[x-1][y-1][z-1] : 0);
				
			}
			
		}
		
	}
	
	cin >> q;
	
	while (q--) 
	{
		
		int Lx, Rx, Ly, Ry, Lz, Rz;
		
		cin >> Lx >> Rx >> Ly >> Ry >> Lz >> Rz;
		
		
		// 前缀和查询范围内的和
		
		int result = prefix[Rx][Ry][Rz]
		
		- (Lx > 1 ? prefix[Lx-1][Ry][Rz] : 0)
		
		- (Ly > 1 ? prefix[Rx][Ly-1][Rz] : 0)
		
		- (Lz > 1 ? prefix[Rx][Ry][Lz-1] : 0)
		
		+ (Lx > 1 && Ly > 1 ? prefix[Lx-1][Ly-1][Rz] : 0)
		
		+ (Lx > 1 && Lz > 1 ? prefix[Lx-1][Ry][Lz-1] : 0)
		
		+ (Ly > 1 && Lz > 1 ? prefix[Rx][Ly-1][Lz-1] : 0)
		
		- (Lx > 1 && Ly > 1 && Lz > 1 ? prefix[Lx-1][Ly-1][Lz-1] : 0);
		
		cout << result << endl;
	}
	
	return 0;
}