树的DFS序

前置芝士：

时间戳

在树的优先深度遍历中，以每个节点第一次被访问的顺序，依次给予这 $N$ 个节点 $1~n$ 的整数标记该标记被称为时间戳。通常用 $dfn[x]$ 表示 $x$ 节点上的时间戳。

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树的 DFS 序

定义：

在树的深度优先遍历中，对于每个节点进入递归后以及即将回溯前各记录一次该点的编号，最后产生长度为 $2~n$ 的序列就被称为树的 $DFS$ 序。

特点：

1. 每次节点在序列中恰好出现两次。

2. 设 $L[x]$ , $R[x]$ 分别表示 $$x 出现的两次的位置。那么区间 $[L[x] \sim R[x]]$ 对应的就是树上的以 $x$ 为根的子树.

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例题1：LOJ 144. DFS 序 1

题目描述

1. 树上 $u$ 节点权值 $+x$。
2. 询问 $u$ 子树的权值和。

题目分析

求出dfs序

对于操作1:在序列上进行单点加

对于操作2:在序列上区间求和

直接树状数组维护。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
struct edge{
	int v, last;
}E[N * 2];
int L[N], R[N], n, m, root, q, t1, u, v, head[N], tot, k;
LL c[N], val[N], t2;
void ins(int u, int v){
	E[++tot].v = v;
	E[tot].last = head[u];
	head[u] = tot;
}
void dfs(int x, int fa){
	L[x] = ++k;
	for(int i = head[x]; i; i = E[i].last){
		int v = E[i].v;
		if(v == fa) continue;
		dfs(v, x);
	}
	R[x] = k;
}
int lowbit(int x){
	return x & -x;
}
void add(int x, LL y){
	for(; x <= k; x += lowbit(x)) c[x] += y;
}
LL ask(int x){
	LL res = 0;
	for(; x; x -= lowbit(x)) res += c[x];
	return res;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &root);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		scanf("%lld", &val[i]);
	}
	for(int i = 1; i < n; i++){
		scanf("%d%d", &u, &v);
		ins(u, v);
		ins(v, u);
	}
	dfs(root, 0);
	for(int i = 1; i <= n; i++) add(L[i], val[i]);
	while(m--){
		scanf("%d", &q);
		if(q == 1){
			scanf("%d%lld", &t1, &t2);
			add(L[t1], t2);
		}
		else{
			scanf("%d", &t1);
			printf("%lld\n", ask(R[t1]) - ask(L[t1] - 1));
		}
	}
	return 0;
}

例题2： LOJ 145. DFS 序 2

题目描述

1. 树上子树修改。
2. 查询以 $u$ 为根的子树权值和。

题目分析

求出 $DFS$ 序，相当于在 $DFS$ 序上进行 区间加 和 区间求和。
树状数组 或者 带懒标记的线段树。

code

#include<bits/stdc++.h>//区间修改，区间查询（树状数组）
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
struct edge{
	int v, last;
}E[N * 2];
int L[N], R[N], n, m, root, q, t1, u, v, head[N], tot, k;
LL c[2][N], val[N], t2, sum[N];//c[0][i] 维护 b[i], c[1][i] 维护 i * b[i]
void ins(int u, int v){
	E[++tot].v = v;
	E[tot].last = head[u];
	head[u] = tot;
}
void dfs(int x, int fa){
	L[x] = ++k;
	sum[k] = sum[k - 1] + val[x];//先处理好前缀和
	for(int i = head[x]; i; i = E[i].last){
		int v = E[i].v;
		if(v == fa) continue;
		dfs(v, x);
	}
	R[x] = k;
}
int lowbit(int x){
	return x & -x;
}
void add(int t, int x, LL y){
	for(; x <= k; x += lowbit(x)) c[t][x] += y;
}
LL ask(int t, int x){
	LL res = 0;
	for(; x; x -= lowbit(x)) res += c[t][x];
	return res;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &root);
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		scanf("%lld", &val[i]);
	}
	for(int i = 1; i < n; i++){
		scanf("%d%d", &u, &v);
		ins(u, v);
		ins(v, u);
	}
	dfs(root, 0);
	while(m--){
		scanf("%d", &q);
		if(q == 1){
			scanf("%d%lld", &t1, &t2);
			add(0, L[t1], t2);
			add(0, R[t1] + 1, -t2);
			add(1, L[t1], L[t1] * t2);
			add(1, R[t1] + 1, -(R[t1] + 1) * t2);
		}
		else{
			scanf("%d", &t1);
			int r = R[t1], l = L[t1];
			printf("%lld\n", sum[r] - sum[l - 1] + (r + 1) * ask(0, r) - ask(1,
				r) - l * ask(0, l - 1) + ask(1, l - 1));
		}
	}
	return 0;
}

例题3：146. DFS 序 3，树上差分 1

题目描述

1. 树上路径中所有节点权值加
2. 单节点求值
3. 子树权值和查询

题目分析

对于操作 1 可以直接树上差分，随着操作 2 就变成了子树查询。

How 操作3？

设查分后，$v$ 节点的差分值为 $val[v]$。若 $v$ 再以 $u$ 为根的子树中，考虑 $v$ 对于 $u$ 这个子树权值和的增加量贡献。

$$val[v] \times (dep_v - dep_u + 1) = val[v] * (dep_v-1) \times val[v]$$

于是 $u$ 的子树增加量之和：

$$(\sum_{v \in Tree(u)} val[v] \times dep_v)-(dep_u - 1) \times \sum_{v \in Tree(u)}{val[v]}$$

维护2个树状数组即可

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1000005, M = 2000005;
int head[N], nxt[M], v[M], edgenum, dep[N], n, m, in[N], out[N], tim, rt, lg[N] = {-1}, st[N][25];
ll f[N], ff[N], a[N];
int lca(int x, int y);
inline void update(ll c[], int x, ll v) {
	if (!x)
		return;
	for (int i = x; i <= n; i += i & -i)
		c[i] += v;
}
inline void update(int x, int y, ll v) { // 路径修改所对应的差分修改
	update(f, in[x], v);
	update(ff, in[x], v * dep[x]);
	update(f, in[y], v);
	update(ff, in[y], v * dep[y]);
	int LCA = lca(x, y), father = st[LCA][0];
	update(f, in[LCA], -v);
	update(ff, in[LCA], -v * dep[LCA]);
	update(f, in[father], -v);
	update(ff, in[father], -v * dep[father]);
}
inline ll query(ll c[], int x) {
	ll res = 0;
	for (int i = x; i; i &= i - 1)
		res += c[i];
	return res;
}
inline ll query_point(int x) {
	return query(f, out[x]) - query(f, in[x] - 1);
}
inline ll query_tree(int x) {
	return query(ff, out[x]) - query(ff, in[x] - 1) - query_point(x) * (dep[x] -
		1);
}
void add(int x, int y) {
	v[++edgenum] = y; //边的数量+1，这条边指向点y
	nxt[edgenum] = head[x]; //江这条边的下一条边指向为x的第一条边
	head[x] = edgenum; //将x的第一条边重定向为该边
}
void dfs(int x, int father) { //构造st表
	in[x] = ++tim;
	st[x][0] = father;
	dep[x] = dep[father] + 1;
	for (int i = 1; i <= lg[dep[x]]; ++i)
		st[x][i] = st[st[x][i - 1]][i - 1];
	for (int e = head[x]; e; e = nxt[e]) {
		if (v[e] != father)
			dfs(v[e], x);
	}
	out[x] = tim;
}//O(nlogn)
int lca(int x, int y) { //找x和y的最近公共祖先
	if (dep[x] < dep[y])
		swap(x, y); //预设x更深
	while (dep[x] > dep[y])
		x = st[x][lg[dep[x] - dep[y]]];
	if (x == y)
		return y;//如果y本是x的祖先,lca即y
	for (int i = lg[dep[x]]; i >= 0; i--) {
		if (st[x][i] != st[y][i]) {
			x = st[x][i];
			y = st[y][i];
		}
	}
	return st[x][0];
}//O(logn)
int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin >> n >> m >> rt;
	ll op, x, y, v;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		lg[i] = lg[i >> 1] + 1;
	}
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		cin >> x >> y;
		add(x, y);
		add(y, x);
	}
	dfs(rt, 0);
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		update(i, i, a[i]); // 单个点的初始值 也 看成路径修改
	for (; m--;) {
		cin >> op >> x;
		if (op == 1) {
			cin >> y >> v;
			update(x, y, v);
		} else if (op == 2) {
			cout << query_point(x) << "\n";
		} else
			cout << query_tree(x) << "\n";
	}
	return 0;
}