洛谷 [P10393 无限循环？] 题解

本题是一个推论题。

由题目给定的条件：

• $w_i=\dfrac12(a_i+a_{i+1})$

• $w_n=\dfrac12(a_1+a_{n})$

转化得到：

• $2w_i=a_i+a_{i+1}$

• $2w_n=a_1+a_{n}$

移项得：

• $a_i = 2w_i - a_{i+1}$

• $a_n = 2w_i - a_{1}$

然后，我们发现 $a_{i+1}$ 可以按照上述推论转化为 $a_{i+1} = 2w_{i+1} - a_{i+2}$。

即得到 $a_i = 2w_i - (2w_{i+1} - a_{i+2})$。

我们重复此过程，并让起始的 $i =1$，最终得到了这个式子：

• $a_1 = 2w_1 - (2w_2 - (2w_3 - (... - (2w_n - a1))))$。

由于 $n$ 是奇数，那么我们就可以将这个式子整理为：

• $a_1 = 2w_1 - 2w_2 + 2w_3 - 2w_4 + 2w_5 ... +2w_n - a_1$

把末尾 $a_1$ 移项，并化简得：

• $a_1 = w_1 - w_2 + w_3 - w_4 + w_5 - w_6 ... + w_n$

这时候我们就可以很轻松地利用给定的 $w_i$ 去构造 $a_1$ 的最大值/最小值了。

AC 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, w[1000010];
signed main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> w[i];
    }
    sort(w + 1, w + 1 + n);
    int i = n, j = 1;
    for (int now = 1; now <= n; now++) {
        if (now & 1) { // 奇数, +
            cout << w[i--] << " ";
        } else {
            cout << w[j++] << " ";
        }
    }
    cout << endl;
    i = 1, j = n;
    for (int now = 1; now <= n; now++) {
        if (now & 1) { // 奇数, +
            cout << w[i++] << " ";
        } else {
            cout << w[j--] << " ";
        }
    }
    return 0;
}