倍增求LCA
【题目大意】
给你树的节点个数\(n\),询问个数\(m\)和树根\(s\),
输入\(n,m,s\);
输入\(n\)对\(x,y.\)表示\(x,y\)结点之间有一条边
输入\(m\)对\(a,b.\)表示求\(a,b\)的最近公共祖先
【思路】
下面的解释均以这个图为例
今天用这道题来说一下倍增,先预处理出每个节点的深度,和lg数组,就是\(log_2{i}\)的值.所谓倍增，就是按\(2\)的倍数来增大，也就是跳\(1,2,4,8,16,32……\)不过在这我们不是按从小到大跳，而是从大向小跳，即按\(……32,16,8,4,2,11\)来跳，如果大的跳不过去，再把它调小。这是因为从小开始跳，可能会出现“悔棋”的现象。拿\(5\)为例，从小向大跳，\(5≠1+2+4\),所以我们还要回溯一步，然后才能得出\(5=1+4\)；而从大向小跳，直接可以得出\(5=4+1\)。这也可以拿二进制为例，\(5(101)\)，从高位向低位填很简单，如果填了这位之后比原数大了，那我就不填，这个过程是很好操作的。
还是以\(17\)和\(18\)为例（此例只演示倍增，并不是倍增LCA算法的真正路径）
\(17->3\)
\(18->5->3\)
可以看出向上跳的次数大大减小。这个算法的时间复杂度为\(O(nlogn)\),已经可以满足大部分的需求。
想要实现这个算法，首先我们要记录各个点的深度和他们\(2^{i}\)级的的祖先，用数组\(depth\)表示每个节点的深度，\(fa[i][j]\)表示节点\(i\)的\(2^j\)级祖先。 代码如下：
void dfs(int f,int fath)//f表示当前节点,fath表示他的父亲
{
depth[f]=depth[fath]+1;
fa[f][0]=fath;
for(int i=1;(1<<i)<=depth[f];i++)
fa[f][i]=fa[fa[f][i-1]][i-1];
//这个转移是核心.意思是f的2^i祖先等于f的2^(i-1)祖先的2^(i-1)祖先
//2^i=2^(i-1)*2^(i-1)
for(int i=head[f];i;i=e[i].nex)
if(e[i].t!=fath)
dfs(e[i].t,f);
}
预处理完毕后，我们就可以去找它的\(LCA\)了，为了让它跑得快一些，我们可以加一个常数优化
for(int i=1;i<=n;i++) //预先算出log_2(i)+1的值，用的时候直接调用就可以了
lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i); //看不懂的可以手推一下
接下来就是倍增\(LCA\)了，我们先把两个点提到同一高度，再统一开始跳。
但我们在跳的时候不能直接跳到它们的\(LCA\)，因为这可能会误判，比如\(4\)和\(8\)，在跳的时候，我们可能会认为\(1\)是它们的\(LCA\)，但\(1\)只是它们的祖先，它们的\(LCA\)其实是\(3\)。所以我们要跳到它们\(LCA\)的下面一层，比如\(4\)和\(8\)，我们就跳到\(4\)和\(5\)，然后输出它们的父节点，这样就不会误判了。
int lca(int x,int y)
{
if(depth[x]<depth[y])//保证x比y深.便于一会调到同一深度
swap(x,y);
while(depth[x]>depth[y])//调到同一深度.
x=fa[x][lg[depth[x]-depth[y]]-1];
if(x==y)//如果到了同一个点了,那就到了lca了.
return x;
for(int k=lg[depth[x]]-1;k>=0;k--)//不断往上调.
if(fa[x][k]!=fa[y][k])//如果两个父亲不一样.
x=fa[x][k],y=fa[y][k];//继续往上跳
return fa[x][0];//返回
}
完整的求\(17\)和\(18\)的LCA的路径：
\(17->10->7->3\)
\(18->16->8->5->3\)
解释：首先，\(18\)要跳到和\(17\)深度相同，然后\(18\)和\(17\)一起向上跳，一直跳到\(LCA\)的下一层(1\(7\)是\(7\)，\(18\)是\(5\))，此时\(LCA\)就是它们的父亲
这个题就是这样.\(so\) \(easy\).
完整代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
int s=0,w=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)) s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
return s*w;
}
struct yyy
{
int t,nex;
}e[2*500001];
int depth[500001],fa[500001][22],lg[500001],head[500001];
int tot;
void add(int x,int y)
{
e[++tot].t=y;
e[tot].nex=head[x];
head[x]=tot;
}
void dfs(int f,int fath)
{
depth[f]=depth[fath]+1;
fa[f][0]=fath;
for(int i=1;(1<<i)<=depth[f];i++)
fa[f][i]=fa[fa[f][i-1]][i-1];
for(int i=head[f];i;i=e[i].nex)
if(e[i].t!=fath)
dfs(e[i].t,f);
}
int lca(int x,int y)
{
if(depth[x]<depth[y])
swap(x,y);
while(depth[x]>depth[y])
x=fa[x][lg[depth[x]-depth[y]]-1];
if(x==y)
return x;
for(int k=lg[depth[x]]-1;k>=0;k--)
if(fa[x][k]!=fa[y][k])
x=fa[x][k],y=fa[y][k];
return fa[x][0];
}
int n,m,s;
int main()
{
n=read(),m=read(),s=read();
for(int i=1,x,y;i<=n-1;i++)
x=read(),y=read(),add(x,y),add(y,x);
dfs(s,0);
for(int i=1;i<=n;i++)
lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);
for(int i=1,x,y;i<=m;i++)
x=read(),y=read(),printf("%d\n",lca(x,y));
return 0;
}
倍增也就是这个思想了吧.
