前缀和,二维前缀和与差分小总结

在了解二维前缀和之前，我们首先需要了解一下什么是前缀和,一维前缀和。

如果我给你一串长度为\(n\)的数列\(a1,a2,a3......an\),再给出\(m\)个询问，每次询问给出\(L，R\)两个数，要求给出区间\([L,R]\)里的数的和，你会怎么做，若是没有了解过前缀和的人看到这道题的想法可能是对于\(m\)次询问，我每次都遍历一遍它给的区间，计算出答案，这样子的方法固然没错，但是其时间复杂度达到了\(O(n*m)\)，如果数据量稍微大一点就有可能超时，而我们如果使用前缀和的方法来做的话就能够将时间复杂度降到\(O(n+m)\),大大节省了运算时间。至于怎么用，请看下面一小段代码

a[0]=0;

for(int i=1;i<=n;i++)a[i]+=a[i-1];

没错，前缀和顾名思义就是前面\(i\)个数的总和。数组a在经过这样的操作之后，对于每次的询问，我们只需要计算\(a[R]-a[L-1]\)就能得到我们想要的答案了，是不是很简单呢。

在知道了最简单的前缀和之后，我们再来了解一下什么是差分。

给你一串长度为\(n\)的数列\(a1,a2,a3......an，\)要求对\(a[L]~a[R]\)进行\(m\)次操作：

操作一：将\(a[L]~a[R]\)内的元素都加上\(P\)

操作二：将\(a[L]~a[R]\)内的元素都减去\(P\)

最后再给出一个询问求\(a[L]-a[R]\)内的元素之和？

你会怎么做呢？你可能会想，我对于\(m\)次操作每次都遍历一遍\(a[L]~a[R]\),给区间里的数都加上\(P\)或减去\(P\)，最后再求一次前缀和就行了。没错，这样子确实也能得出正确答案，但时间复杂度却高达\(O(M*n)\)，对于\(1<=n,m<=1e5\)这个数据范围来说直接就\(TLE\)了，所以说这个方法不可行。既然这样不行的话，那我们要怎么做才能快速的得到正确答案呢？是的，这个时候我们的差分就该派上用场了，我们新开一个数组\(b\)，储存每一次的修改操作，最后求前缀和的时候统计一下就能快速的得到正确答案了，详细请看下面代码。
简简单单

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+9;
int a[maxn],b[maxn];
int main(){
	int i,j,k,n,m,p;
	cin>>n>>m;
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(i=1;i<=m;i++){
		int L,R,t;
		cin>>t>>L>>R>>p;
		if(t==1){
			b[L]+=p;b[R+1]-=p; //仔细想想为什么b[R+1]要减去p 
		}
		else{
			b[L]-=p;b[R+1]+=p;
		}
	}
	int add=0;
	for(i=1;i<=n;i++){
		add+=b[i];
		a[i]+=a[i-1]+add;
	}
	int x,y;
	cin>>x>>y;
	cout<<a[y]-a[x-1]<<endl;
}

相信看到这里，大家已经仔细思考过代码了，为什么操作一时\(b[R+1]\)要减去\(p\)，很简单，因为操作一我只需对\([L,R]\)区间里的数加\(p\)，\([R+1,n]\)这个区间里的数没必要加\(p\)，所以需要减掉\(p\)。

差分讲解完毕，接下来我们终于要开始今天的正题——二维前缀和了。

还是以小问题的形式来讲解二维前缀和吧

给定一个\(n*m\)大小的矩阵\(a\)，有\(q\)次询问，每次询问给定\(x1,y1,x2,y2\)四个数，求以\((x1,y1)\)为左上角坐标和\((x2,y2)\)为右下角坐标的子矩阵的所有元素和。注意仍然包含左上角和右下角的元素。

怎么做呢？为了方便你们理解，上个图吧。

如图所示，按题目要求，我们每次要求的答案就是红色圆圈所在的区域的值（注意，这里的\(x1,x2\)表示行，\(y1,y2\)表示列),对比上面这张图我们能够发现红色区域的值等于四个区域的值减去（白色区域+黑色区域），再减去（白色区域+蓝色区域)，最后因为白色区域被减了两次，我们需要再加回来。所以\(ans=a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1]\)；(注意，此时的\(a\)数组代表的是前缀和)。突然想起来还没说怎么求二维前缀和，很简单，看下面代码。

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=1;j<=m;j++)
	a[i][j]+=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1];

为方便理解贴个图

假如我想\(求a[2][4]\)的前缀和，我得先加上\(a[1][4]\)的前缀和，再加上\(a[2][3]\)的前缀和，然后这个时候我们发现实际上\(a[1][3]\)这个部分我们加了两遍，所以我们需要再减去一遍\(a[1][3]\)，于是得出公式\(a[i][j]+=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1]\)。

接下来看完整代码吧。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e3+9;
int a[maxn][maxn];
int main(){
	int i,j,k,n,m,q;
	cin>>n>>m>>q;
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=m;j++)
		cin>>a[i][j];
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=m;j++)
		a[i][j]+=a[i][j-1]+a[i-1][j]-a[i-1][j-1];
	}
	for(i=1;i<=q;i++){
		int x1,y1,x2,y2;
		cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
		int ans=a[x2][y2]-a[x1-1][y2]-a[x2][y1-1]+a[x1-1][y1-1];
		cout<<ans<<endl;
	}
}

是不是感觉还挺简单
在学完二维前缀和之后，一些同学可能会有疑问，一维前缀和能用上差分，那么二维前缀和能不能用上差分呢？答案是肯定的。

那么怎么差分呢？方法是和一维类似的，我们也是需要另开一个数组记录修改操作，最后求前缀和时统计修改操作，只是二维每一次操作需要记录4个位置，一维只需要记录2个位置。具体怎么做，看下面代码吧。

for(int i=0;i<m;i++){//m是修改操作次数 
	int x1,y1,x2,y2,p;
	cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>p;
	b[x1][y1]+=p;b[x2+1][y2+1]+=p;
	b[x2+1][y1]-=p;b[x1][y2+1]-=p;
}