信号与系统——典型非周期信号的傅里叶变换

  • 单边指数信号

我们设单边指数信号的表达式为

其中  \alpha  为正实数。则

F(\omega ) = \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt = \int_{0 }^{\infty }e^{-at}e^{-j\omega t}dt = \int_{0 }^{\infty }e^{-(a+j\omega)t }dt

得 F(\omega ) = \frac{1}{a+j\omega }                 \left | F(w) \right | = \frac{1}{\sqrt{a^{2}+w^{2}}}         \varphi (w) = - arctan(\frac{w}{a})   ，其波形分别为

 

  • 双边指数信号

设双边指数信号的表达式为 f(t) = e^{-a\left | t \right |} (-\infty < t <+\infty )  ，其中 a 为正实数。

F(W) = \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt = \int_{-\infty }^{\infty }e^{-a\left | t \right |}e^{-jwt}dt ，所以可得

F(w) = \frac{2a}{a^{2}+w^{2}}               \left |F(w) \right | = \frac{2a}{a^{2}+w^{2}}              \varphi (w) = 0     ，其波形如下图所示

 

  •  矩形脉冲信号

已知矩形脉冲信号的表示式为       f(t) = E[u(t+\frac{\tau }{2})-u(t-\frac{\tau }{2})]        ，其中 E 为脉冲幅度 ，\tau 为脉冲宽度。

故 F(w) = \int_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt = \int_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}Ee^{-jwt}dt = \frac{2E}{w}sin\left ( \frac{w\tau }{2} \right ) = E\tau \left [ \frac{sin(\frac{w\tau }{2})}{\frac{w\tau }{2}}\right ]  

 

 

posted @ 2021-05-13 09:34  Xa_L  阅读(817)  评论(0)  编辑  收藏  举报