快速幂

3.20每日一题

1969.数组元素的最小非零乘积
50.Pow(x,n)

二分法求解快速幂

求解幂，利用二分法可以将时间复杂度降到\(O(logn)\)。考虑\(x^5\)经过二分法之后变为\(x^2*x^2*x\)，以及\(x^4\)经过二分法之后变为\(x^2*x^2\)，所以主要区别就是是否乘x。
将n拆解为二进制数时比如5-->101可以发现实际上的结果就是数值为1的位上对应值的乘积--> \(x^4 * x\)。
所以可以每次循环判断n的末尾是否为1，如果为1就更新结果，然后每次循环都使得x自乘。n每次向右移1位

double quickPow(double x, long long n)
{
  double res = 1.0;
  while(n)
  {
    if(n&1 == 1) res *= x;
    x *= x;
    n = n>>1;
  }
  return res;
}

1969题中的快速幂

经过分析，知道需要求解\((2^p-2)^{(2^{(p-1)}-1)}\) --> \(x^{(2^{(p-1)}-1)}\)，相当于是给定x和p求解前面的式子，可以发现\(2^{(p-1)}-1\)的二进制形式下每一位都是1，而\(2^{(p-1)}-1\)右移1位相当于p--
所以

long long quickPow(long long x, int p)
{
  long long res = 1;
  while(n--)
  {
    res *= x;
    x *= x;
  }
  return res;
}