视图变换矩阵和投影变换矩阵

变换

3D -> 2D

2D空间的变换

1. 缩放变换

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}s& 0\\ 0& s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

2. 反射变换--以坐标轴翻转

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

3. 剪切变换
   假设沿着x轴正向剪切，在y高度上，每个等高线上的点沿着x轴正向移动的距离是a*y，a为y=1时x的移动距离

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

4. 旋转变换
   默认绕原点逆时针旋转$\alpha$度

$$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$$

使用齐次坐标表示变换矩阵#

方便解决平移矩阵
2D变换矩阵 -> 3D变换矩阵

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]->\left[\begin{array}{ccc}a& b& t_x\\ c& d& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$t_x,t_y$就表示平移的移动量
同样对于2D平面内的点或者向量，也需要变为3D坐标表示，对于点可以在末尾加1即可，对于向量可以在末尾加0即可。
点：(x,y) -> (x,y,1)
向量：(x,y) -> (x,y,0)

3D空间变换

与2D平面相同，从3D->4D
点：(x,y,z) -> (x,y,z,1)
向量： (x,y,z) -> (x,y,z,0)

$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]->\left[\begin{array}{cccc}a& b& c& t_x\\ d& e& f& t_y\\ g& h& i& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

欧拉角#

处理3D空间中绕任意轴的旋转问题，将该轴求解出与坐标轴的角度关系
$R_{xyz}(\alpha ,\beta ,\gamma )=R_x(\alpha )+R_y(\beta )+R_z(\gamma )$

MVP矩阵

1. Model Trans Matrix -> 对物体实际位置的变换
2. View Trans Matrix -> 对相机的变换
3. Proj Trans Matrix -> 3D->2D

Viewing Trans

View Trans 视图变换#

对相机位置和朝向的确定。
需要三个向量

1. 相机位置 e
2. 朝向 lookat g
3. 向上方向 up direction l

物体如果和相机保持相对静止，那么相机的所看到的物体是一样的。
所以约定
1. 相机位置在原点，相机的朝向是-z，相机的向上方向是y

所以视图变换就是将相机位置(x,y,z)移动到(0,0,0)，并旋转朝向向量和向上向量
g 旋转到 -z l 旋转到y (g×l)旋转到x
考虑从x轴，y轴，z轴旋转到g×l，l，g的矩阵。
而反过来旋转就是该矩阵的逆，也即是视图变换矩阵的旋转模块。而由于旋转矩阵是正交矩阵，所以逆就是矩阵的转置。
然后对于空间中的物体，也需要应用该矩阵实现物体的变换。

Proj Trans 投影变换#

近大远小 或者 近远相同

正交变换#

近远相同，对于处在约定位置的相机观测出来的图像，将物体的z值去掉，即得到投影结果。
定义空间中一个立方体[l,r]×[b,t]×[f,n]，这个立方体是观测物体的包围和。然后将这个包围盒变换为中心为原点的单位立方体，可以通过平移和缩放矩阵
l,r表示在x轴上的左边界和右边界，b,t表示在y轴上的底和顶，f,n表示在z轴上的前面和后面（由于摄像机是朝z负方向的）

$$M_{ortho}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{2}{r-l}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -\frac{r+l}{2}\\ 0& 1& 0& -\frac{t+b}{2}\\ 0& 0& 1& -\frac{n+f}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

透视变换#

近大远小

第一种方法#

GAMES101
压缩除了n平面的所有平面，将其他平面压缩，直到整个锥体变为长方体$M_{persp->ortho}$
所以压缩后，x,y两值就变换为下式

$$\begin{gathered} x=\frac{nx}{z} \\ y=\frac{ny}{z} \end{gathered}$$

此时可以初步写出$M_{persp->ortho}$除了第三行的矩阵

$$\left[\begin{array}{cccc}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ ?& ?& ?& ?\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$

由于压缩变换不会改变z的值。那么对于变换后的值$\left[\begin{array}{c}\frac{nx}{z}\\ \frac{ny}{z}\\ z\\ 1\end{array}\right]==\left[\begin{array}{c}nx\\ ny\\ z^2\\ z\end{array}\right]$
可以推断出第三行格式为(0,0,A,B)
将z分别使用近平面值n和远平面值f带入即可求得两个参数

$$\begin{gathered} (0,0,A,B)\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ n\\ 1\end{array}\right]==An+B==n^2 \\ (0,0,A,B)\ast \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ f\\ 1\end{array}\right]==Af+B==f^2 \end{gathered}$$

求解即得到A ,B值。

$$\begin{gathered} A=n+f \\ B=-nf \end{gathered}$$

然后现在锥体就变为了长方体，再使用正交投影的矩阵相乘，即得到透视投影的变换矩阵
$M_{persp}=M_{persp->ortho}\ast M_{ortho}$

第二种方法#

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