逆元相关知识
逆元相关知识
乘法逆元(mod 在C++里是%)
定义:
满足a*k≡1 (mod p)的k值就是a关于p的乘法逆元。
为什么要有乘法逆元呢?
当我们要求(a/b)%p的值,且a,b都很大,无法直接求得a/b的值,必须在之前mod时(因为(a/b)%p不等于(a%p)/(b%p)),我们就要用到乘法逆元。
我们可以通过求b关于p的乘法逆元k,将a乘上k再模p,即(a*k)%p。其结果与(a/b)%p等价。
前提a和p互质,才能用乘法逆元:
因为a*k≡1 (mod p)等价于ax+by=1,要使其有解,gcd(a,b)必须等于1。
证:(其实很简单。。。)
- 根据b*k≡1 (mod p)有b*k=p*x+1。
- k=(p*x+1)/b。
- 把k代入(a*k)%p,得:
- (a*(p*x+1)/b)%p
- =((a*p*x)/b+a/b)%p
- =[((a*p*x)/b)%p +(a/b)]%p
- =[(p*(a*x)/b)%p +(a/b)]%p
- //p*[(a*x)/b]%p=0
- 所以原式等于:(a/b)%p
根据欧几里德算法
代码如下:
void Exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(!b) x=1,y=0;else Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;}
int main(){
cin>>a>>b>>p;//(a/b)%p
Exgcd(b,p,x,y);
int ni=(x+p)%p;//防止出现负数
printf("%d就是逆元\n",ni);
return 0;
}
线性求逆元
求i的逆元。
可得p%i+(p/i)*i=p
- 令a=p%i,b=p/i;
- a+b*i=p
- a+b*i≡0(mod p)
- b*i≡-a(mod p)
- i^-1=-b/a
所以i的逆元:-(p/i)*(p%i)^-1
这样就可以O(n)求出所有逆元了
代码如下:
(因为1^(-1)=1,所以初始化inv[1]=1)
for(inv[1]=1,i=2;i<=n;i++) inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
所以最后O(1)出答案。