二分图匹配 【匈牙利算法】 从入门到熟练

二分图匹配 匈牙利算法

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先让我来介绍一下二分图是什么吧！

这就是一种最常见的二分图。也就是左右两边相连，左边与左边不连，右边也不连的一幅图。把左边看成集合A，右边看成集合B，每条边都连接A与B中的点。

讲完二分图，我们在了解一下匹配是什么。
在二分图中，任意两条边都没有公共顶点。
让我们看一幅图：

红色线条就是匹配的线条，当然，不止一种。

这些红色线条可以称为匹配边，被红色线条连接的点可以称为匹配点。

最大匹配：在一个匹配图中，匹配边最多的叫做最大匹配，上图的最大匹配是3条边。

完美匹配：所以顶点都是匹配点的图就是完美匹配，当然，也是最大匹配。

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介绍完二分图匹配，我们就先看一道洛谷的试题：

P3386 【模板】二分图匹配

题目背景

二分图

题目描述

给定一个二分图，结点个数分别为n,m，边数为e，求二分图最大匹配数

输入格式：

第一行，n,m,e
第二至e+1行，每行两个正整数u,v，表示u,v有一条连边

输出格式：

共一行，二分图最大匹配

输入样例#1：

1 1 1
1 1

输出样例#1：

1

说明
n,m≤1000，1≤u≤n，1≤v≤m$n,m\le 1000，1\le u\le n，1\le v\le m$
因为数据有坑，可能会遇到 v>m$v>m$ 的情况。请把 v>m$v>m$ 的数据自觉过滤掉。

算法：

二分图匹配

像这类题目，我们通常用匈牙利来解决。

假设二分图是这样的（你可以理解为相亲，连接的表示相互有好感）：

我们按左边的顺序来。
第一次1选择4（用红线描出）

第二次2选择，但是突然发现4被连了，所以果断抢过4，让1再选一个。
这时的一还有新的选择，于是1连到了5。
图就变成了这样：

第三次3选择，但是5和4都被抢了。所以先抢过4，2一看4被抢了，又找不到其他的了，于是就跑回来抢回4。3只能抢5，但1一看5和4都被抢了，就跑回来抢回5。然后3就只能在一旁画圈圈了QAQ。

6：”怎么没人选我QAQ。”

所以这幅图的最大匹配就是2。

是不是很好理解啊~

下面贴上代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,e,gl[1005],ans;
bool vis[1005][1005],usd[1005];
bool fnd(int x){
    for(int i=1;i<=m;i++)
    if(vis[x][i]&&!usd[i]){
        usd[i]=1;
        if(gl[i]==0||fnd(gl[i])){gl[i]=x;return 1;}//如果i没有匹配，或者调整后可以匹配，就将这个匹配。 
    }
    return 0;
}
int main(){
    freopen("prob.in","r",stdin);
    freopen("prob.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);
    for(int i=1;i<=e;i++){
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        vis[x][y]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) memset(usd,0,sizeof(usd)),ans+=fnd(i);//如果匹配就+1 
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

如果有错请留言，谢谢大家o( ^ v ^ )o