如何快速求解组合数 C(n,m) 取模 【最简单的方法】

如何快速求解组合数 C(n,m) 取模

组合数取模，肯定要用到乘法逆元，像我这种蒟蒻，还不会。

但是我学到了一个更优秀的方法，不仅快速求解C(n,m)，而且还可以mod。

这需要用到质因数拆分：
我们知道Cmn=n!(n−m)!m!$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}$。
那么我们将n!转化成质因数相乘的形式
Px11∗Px22∗...∗Pxkk$P_1^{x_1}\ast P_2^{x_2}\ast ...\ast P_k^{x_k}$
那么(n-m)!就是
Py11∗Py22∗...∗Pykk$P_1^{y_1}\ast P_2^{y_2}\ast ...\ast P_k^{y_k}$
那么m!就是
Pz11∗Pz22∗...∗Pzkk$P_1^{z_1}\ast P_2^{z_2}\ast ...\ast P_k^{z_k}$

然后三项相减得
Px1−y1−z11∗Px2−y2−z22∗...∗Pxk−yk−zkk$P_1^{x_1-y_1-z_1}\ast P_2^{x_2-y_2-z_2}\ast ...\ast P_k^{x_k-y_k-z_k}$

然后快速幂一趟就出结果了，这样子也不需要用到除法并且速度快。

但是我们要讲x$x$,y$y$,z$z$求出来，那么就需要一个函数：

int Get(int x,int y){//在x!中y这个因子出现的次数
    int sum=0;
    for(;x;x/=y) sum+=x/y;
    return sum;
}

完美解决问题
下面贴上完美的伪代码 （代码有点丑）

#define LL long long
int tt;//模数
void make_p(){//挖素数
    vis[0]=vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    if(!vis[i]){
        p[++tot]=i;
        for(int j=i*2;j<=MAXN;j+=i) vis[j]=1;
    }
}
LL qsm(LL a,LL b){//快速幂
    LL ans=1,w=a;
    for(;b;b>>=1,w=(w*w)%tt) if(b&1) ans=(ans*w)%tt;
    return ans;
}
LL Get(LL x,LL y){
    LL sum=0;
    for(;x;x/=y) sum+=x/y;
    return sum;
}
LL C(int x,int y){
    LL ans=1;
    for(int i=1;i<=tot&&p[i]<=x;i++){
        int T=Get(x,p[i])-Get(x-y,p[i])-Get(y,p[i]);
        ans=(ans*qsm(p[i],T))%tt;
    } 
    return ans;
}
//因为我怕爆掉所以开long long