BZOJ 1856: [Scoi2010]字符串【组合数】

1856: [Scoi2010]字符串

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Description

lxhgww最近接到了一个生成字符串的任务，任务需要他把n个1和m个0组成字符串，但是任务还要求在组成的字符串中，在任意的前k个字符中，1的个数不能少于0的个数。现在lxhgww想要知道满足要求的字符串共有多少个，聪明的程序员们，你们能帮助他吗？

Input

输入数据是一行，包括2个数字n和m

Output

输出数据是一行，包括1个数字，表示满足要求的字符串数目，这个数可能会很大，只需输出这个数除以20100403的余数

Sample Input

2 2

Sample Output

2

HINT

【数据范围】
对于30%的数据，保证1<=m<=n<=1000
对于100%的数据，保证1<=m<=n<=1000000

题解

我们可以将这题抽象到数轴上，那么这题就变成了求函数（遵循题目描述）不经过y=-1的数量，那么就想到总数减去经过的数量。
总数很好求，C(n+m,n)
那么就是经过y=-1的方案数怎么求，其实很简单，我们强制使这个函数经过y=-1，那我们就可以从(0,-1)开始，因为一开始已经用了一个0，那么后面用的0要减去一个，所以就是C(n+m,m-1)也就是C(n+m,n+1)。
最终答案是C(n+m,n)-C(n+m,n+1)。
那么组合数怎么求请看我的博客。

代码如下

#include<cstdio>
#define MAXN 2000005
#define LL long long
using namespace std;
const int tt=20100403;
LL n,m,p[MAXN],tot;
bool vis[MAXN];
void make_p(){
    vis[0]=vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=MAXN;i++)
    if(!vis[i]){
        p[++tot]=i;
        for(int j=i*2;j<=MAXN;j+=i) vis[j]=1;
    }
}
LL qsm(LL a,LL b){
    LL ans=1,w=a;
    for(;b;b>>=1,w=(w*w)%tt) if(b&1) ans=(ans*w)%tt;
    return ans;
}
LL Get(LL x,LL y){
    LL sum=0;
    for(;x;x/=y) sum+=x/y;
    return sum;
}
LL C(int x,int y){
    LL ans=1;
    for(int i=1;i<=tot&&p[i]<=x;i++){
        int T=Get(x,p[i])-Get(x-y,p[i])-Get(y,p[i]);
        ans=(ans*qsm(p[i],T))%tt;
    } 
    return ans;
}
int main(){
//  freopen("prob.in","r",stdin);
//  freopen("prob.out","w",stdout);
    make_p();
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    LL ans=0;
    ans=(C(n+m,n)-C(n+m,n+1)+tt)%tt;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}