导数相关知识

导数

首先让我们了解一下什么是导数

比如说这幅图

我们要求x的导数，就是过x这个点的切线的斜率。

比如说就是这条黑线的斜率。

我们知道求一个一次函数y=kx+b的求法

下面是y=2x+1的函数

我们选取一段△x$△x$对应一段△y$△y$那么k=△x△y$k=\frac{△x}{△y}$

我们同样可以应用在二次函数y=x2$y=x^2$上

当然这样求出的斜率是k=△x△y$k=\frac{△x}{△y}$

跟真正的斜率的有偏差，那么我们只能将△x$△x$给缩小，让他无限接近于0，那么这个斜率就更精确了。

我们当然想要△x=0$△x=0$可是这个在△x△y$\frac{△x}{△y}$里是不能实现的，但是我们可以将这个公式转换。

先定义y1=x2$y1=x^2$，y2=(x+△x)2$y2=(x+△x{)}^2$
因为△y=y2−y1$△y=y2-y1$所以这个公式可以变成

(x+△x)2−x2△x$$\frac{(x+△x{)}^2-x^2}{△x}$$

我们化简这个公式

(x+△x)2−x2△x$$\frac{(x+△x{)}^2-x^2}{△x}$$

=x2+△x2+2△xx−x2△x$$=\frac{x^2+△x^2+2△xx-x^2}{△x}$$

=△x+2x$$=△x+2x$$

然后我们可以令△x=0$△x=0$所以
y=x2$y=x^2$这个函数的斜率函数k=2x$k=2x$

那么这个函数是n次函数呢？
证明起来有些麻烦，直接记公式k=nxn−1$k=n{x}^{n-1}$

让我们看这样一个公式y=ax2+bx+c$y=a{x}^2+bx+c$
这个斜率函数y=a∗2x+b$y=a\ast 2x+b$

然后当y=a1xn+a2xn−1+...+anx+c$y=a_1{x}^n+a_2{x}^{n-1}+...+a_{n}x+c$
这个斜率函数就是y=a1nxn−1+a2(n−1)xn−2+...+an$y=a_{1}n{x}^{n-1}+a_2(n-1)x^{n-2}+...+a_n$

如果y=x−−√$y=\sqrt{x}$，导数是啥？
x−−√=x12$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$
那么k=12x−12$k=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$
很简单。

最后加上一些特殊的：
1.y=sinx$y=\sin x$,k=cosx$k=\cos x$
2.y=cosx$y=\cos x$,k=−sinx$k=-\sin x$
3.y=logex=lnx$y=lo{g}_{e}x=lnx$,k=1x$k=\frac{1}{x}$