BZOJ 2431: [HAOI2009]逆序对数列【DP】

2431: [HAOI2009]逆序对数列

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Description

对于一个数列ai$ai$，如果有i<j$i<j$且ai>aj$ai>aj$，那么我们称ai$ai$与aj$aj$为一对逆序对数。若对于任意一个由1 n$1n$自然数组成的数列，可以很容易求出有多少个逆序对数。那么逆序对数为k的这样自然数数列到底有多少个？

Input

第一行为两个整数n，k。

Output

写入一个整数，表示符合条件的数列个数，由于这个数可能很大，你只需输出该数对10000求余数后的结果。

Sample Input

4 1

Sample Output

3
样例说明：
下列3个数列逆序对数都为1；分别是1 2 4 3 ；1 3 2 4 ；2 1 3 4；
100%的数据 n<=1000，k<=1000

题解

我们定义f[i][j]$f[i][j]$表示前i个数逆序对个数为j个的方案数。我们从大到小开始放，我们将第i个数放在第k个位置当然0<=k<i$0<=k<i$，所以当前新产生的个数是k个，所以转移方程就会写了：f[i][j]=∑k=0i−1f[i−1][j−k]$f[i][j]=\sum _{k=0}^{i-1}f[i-1][j-k]$。
但是这个的时间复杂度是O(n3)$O(n^3)$，所以不能过。
我们可以通过转移方程看出，可以用前缀和来优化，那么就可以了。

O(n3)$O(n^3)$代码

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,K,f[1005][1005];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&K);
    for(int i=0;i<=n;i++) f[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=K;j++)
    for(int k=0;k<i;k++) f[i][j]+=f[i-1][j-k];
    printf("%d\n",f[n][K]);
    return 0;
}

O(n2)$O(n^2)$代码

#include<cstdio>
using namespace std;
const int tt=10000;
int n,K,f[1005][1005],sum[1005][1005];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&K);f[0][0]=1;
    for(int i=0;i<=K;i++) sum[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=K;j++){
        if(j>=i) f[i][j]=(sum[i-1][j]-sum[i-1][j-i]+tt)%tt;
        else f[i][j]=sum[i-1][j];
        sum[i][j]=((j?sum[i][j-1]:0)+f[i][j])%tt;
    }
    printf("%d\n",f[n][K]);
    return 0;
}