BZOJ 1041: [HAOI2008]圆上的整点【高斯素数】

1041: [HAOI2008]圆上的整点

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Description

求一个给定的圆(x^2+y^2=r^2)，在圆周上有多少个点的坐标是整数。

Input

只有一个正整数n,n<=2000 000 000

Output

整点个数

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

科普视频

题解

我的想法和黄学长的想法不同，我没看懂他的想法QAQ。
我的想法比较神奇，因为看了这个视频，十分完美的解决了此题：https://www.bilibili.com/video/av12131743/，讨论里也有，就是科普视频的完整版（我也不知道BZOJ里为什么只能看5分钟）。
视频有点长，但是我还是建议看一下，十分有帮助。
我继续视频中讲到的知识，解决这道题。
显然是要将n$n$拆成素数的积，但是题目给的是半径r=r2−−√$r=\sqrt{r^2}$。
所以我们要求r2$r^2$的素数积。
那么怎么求呢？
r=pa11∗pa22∗pa33∗...∗pakk$r=p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}\ast p_3^{a_3}\ast ...\ast p_k^{a_k}$
r2=(pa11∗pa22∗pa33∗...∗pakk)2=p2a11∗p2a22∗p2a33∗...∗p2akk$r^2=(p_1^{a_1}\ast p_2^{a_2}\ast p_3^{a_3}\ast ...\ast p_k^{a_k}{)}^2=p_1^{2a_1}\ast p_2^{2a_2}\ast p_3^{2a_3}\ast ...\ast p_k^{2a_k}$
所以只需要求r的质因子然后∗2$\ast 2$就可以了。
然后我们要求

X(n)=⎧⎩⎨1(nmod4==1)−1(nmod4==3)0(nmod2==0)$$X(n)=\{\begin{array}{l}1(nmod4==1)\\ -1(nmod4==3)\\ 0(nmod2==0)\end{array}$$

对于r2$r^2$，没有任何质因子只出现奇数次的情况，所以只需要判nmod4==1$nmod4==1$的情况，直接∗(ai+1)$\ast (a_i+1)$就可以了。
当然，我们求r，所以只需要筛到r√$\sqrt{r}$就可以了，但是有情况是r本身是一个大素数，或是一个大素数*小素数，所以晒完之后再特判一下就可以了。

代码如下

#include<cmath>
#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,m,Ans=1,p[500005];
bool vis[500005];
void make_p(){
    int Len=500000;
    vis[0]=vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=Len;i++){    
        if(!vis[i]) p[++p[0]]=i;
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=Len;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(!(i%p[j])) break;
        }
    }
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("prob.in","r",stdin);
    freopen("prob.out","w",stdout);
    #endif
    make_p();
    scanf("%lld",&n);
    while(!(n&1)) n/=2;
    for(int i=1;i<=p[0]&&p[i]<=n;i++)
    if(!(n%p[i])){
        LL Num=0;
        while(!(n%p[i])) Num++,n/=p[i];
        Num<<=1;
        if(p[i]%4==1) Ans*=Num+1;
    }
    if(n>1) if(n%4==1) Ans*=3;
    printf("%lld\n",Ans*4);
    return 0;
}