BZOJ4036: [HAOI2015]按位或【FWT+期望】

4036: [HAOI2015]按位或

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Description

刚开始你有一个数字0，每一秒钟你会随机选择一个[0,2^{n-1]的数字，与你手上的数字进行或（c++,c的|,pascal的or）操作。选择数字i的概率是p[i]。保证0<=p[i]<=1，Σp[i]=1问期望多少秒后，你手上的数字变成2}n-1。

Input

第一行输入n表示n个元素，第二行输入2^n个数，第i个数表示选到i-1的概率

Output

仅输出一个数表示答案，绝对误差或相对误差不超过1e-6即可算通过。如果无解则要输出INF

Sample Input

2
0.25 0.25 0.25 0.25

Sample Output

2.6666666667

HINT

对于100%的数据，n<=20

【题解】

根据题目，我们要求的是$E(max(T))$

先用MinMax容斥得到$E(max(T))=\sum_{T \subset U}(-1)^{|x|}E(min(T))$

$\large E(min(T))={1 \over \sum_{S \cup T \not= \emptyset} P_S}$

$\sum_{S \cup T \not= \emptyset} P_x=1-\sum_{S\cup T=\emptyset} P_S$

所以只要算出$\sum_{S\cup T=\emptyset} P_S$就好了。

我们发现这不就是$P_S=\sum_{i|j=S} P_i*P_j$吗?

所以直接FWT就可以了。

【代码如下】

#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=1<<20;
int n,cnt[MAXN],CHECK;double Ans,p[MAXN];
int main(){
	scanf("%d",&n);n=1<<n;
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf",&p[i]);
	for(int i=1;i<n;i++) if(p[i]) CHECK|=i;
	if(CHECK!=n-1) return puts("INF"),0;
	for(int i=1;i<n;i<<=1)
	for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
	for(int k=0;k<i;k++) p[i+j+k]+=p[j+k];
	for(int i=1;i<n;i++) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
	for(int i=1;i<n;i++) Ans+=((cnt[i]&1)?1.0:-1.0)/(1.0-p[(n-1)^i]);
	printf("%.10lf",Ans);
	return 0;
}