费用流练习

雾竞跑了，树竞摆了，花竞蔫了，牲竞寄了，电竞笑了。

A. 订货

http://222.180.160.110:1024/contest/3820/problem/1

这个带继承关系的模型很熟悉，想到了猪那一题。所以我们试着仿照这个方式来建图。

题目提到了单位费用，这简直就是直接把边的费用拍你脸上嘲讽。

我们拉一个大源点，朝每个月连一条容量为无穷大、费用为当月购买单位费用的边，表示每个月的购买。

拉一个大汇点，每个月朝它连一条容量为当月需求量、费用为 \(0\) 的边，表示每个月的需求。

再让每个月朝下一个月连一条容量为仓库容量、费用为贮存费用的边，表示继承。跑一个最小费用最大流即可。

#define int long long
namespace XSC062 {
using namespace fastIO;
const int maxn = 405;
const int inf = 1e18;
const int maxm = 5e5 + 5;
struct _ {
	int v, c, w, n;
	_() {}
	_(int v1, int c1, int w1, int n1) {
		v = v1, c = c1, w = w1, n = n1;
	}
};
_ u[maxm];
bool inq[maxn];
int n, m, S, x, res;
int gs, gt, tot = 1;
int h[maxn], dis[maxn];
int fl[maxn], pre[maxn];
inline int min(int x, int y) {
	return x < y ? x : y;
}
inline bool SPFA(int s, int n) {
	std::queue<int> q;
	std::fill(dis + 1, dis + n + 1, inf);
	q.push(s), dis[s] = 0, inq[s] = 1;
	pre[s] = inf, pre[gt] = 0, fl[s] = inf;
	while (!q.empty()) {
		int f = q.front();
		q.pop(), inq[f] = 0;
		for (int i = h[f]; i; i = u[i].n) {
			if (u[i].c == 0)
				continue;
			int v = u[i].v, w = u[i].w;
			if (dis[v] > dis[f] + w) {
				pre[v] = i ^ 1;
				dis[v] = dis[f] + w;
				fl[v] = min(fl[f], u[i].c);
				if (!inq[v])
					inq[v] = 1, q.push(v);
			}
		}
	}
	return pre[gt];
}
inline void SSP(int s, int n) {
	int p, mn, d;
	while (SPFA(s, n)) {
		mn = fl[gt], d = 0;
		for (p = gt; p != s; p = u[pre[p]].v) {
			u[pre[p]].c += mn;
			u[pre[p] ^ 1].c -= mn;
			d += u[pre[p] ^ 1].w;
		}
		res += mn * d;
	}
	return;
}
inline void add(int x, int y, int c, int w) {
	u[++tot] = _(y, c, w, h[x]);
	h[x] = tot;
	return;
}
inline void addf(int x, int y, int c, int w) {
	add(x, y, c, w), add(y, x, 0, -w);
	return;
}
int main() {
	read(n), read(m), read(S);
	gs = n + 1, gt = gs + 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		read(x);
		addf(i, gt, x, 0);
		if (i != n)
			addf(i, i + 1, S, m);
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		read(x);
		addf(gs, i, inf, x);
	}	
	SSP(gs, gt);
	print(res, '\n');
	return 0;
}
} // namespace XSC062
#undef int

B. 网络扩容

http://222.180.160.110:1024/contest/3820/problem/2

鉴于一道费用流不会无缘无故先让你求一遍最大流，我们先持观望态度，暂且认为最大流对题目有提示作用 ~~而不是说这道题就是个缝合怪~~

其实看完题我们就悟了，这怎么这么像上下界网络流那个差量网络呀，要不我们试试这么干？

我们先求得普通网络中的最大流，然后每条边减去流量，就成为了一个「差量网络 Pro」。那么我们现在就要通过扩容让该网络中的最大流变为 \(K\)。对于扩容的操作，不难想到把每条边的边权设为正无穷，然后费用设为扩容费用。

现在有了一个问题：原图中未留满的边，在现在的新网络中的残余容量应该如何处理呢？很简单，我们就把它当作已经扩过了这么多容，通过拆边操作拆出来一条容量为原图中残余容量、费用为 \(0\)「会员通道」，那么算法就会优先选择这条边。

怎么去控制流量为 \(K\)？联想到之前的拆边操作，我们考虑拆点。在 \(1\) 和 \(N\) 中任选一个拆开作为新的源点 / 汇点，新点和旧点之间的容量为 \(K\)、费用为 \(0\) 即可。

然后跑一个最小费用最大流就行。~~该说不说题目的正解思路引导做得还挺好的~~

其实注意到在跑完最大流之后，所有正向边的残余容量已经求得，只要在跑最大流时令所有边的费用为 \(0\)（毕竟最大流不关心费用），就可以沿用原图，只加新边再跑费用流。

#define int long long
namespace XSC062 {
using namespace fastIO;
const int inf = 1e18;
const int maxn = 1e3 + 5;
const int maxm = 5e5 + 5;
struct _ {
	int v, c, w, n;
	_() {}
	_(int v1, int c1, int w1, int n1) {
		v = v1, c = c1, w = w1, n = n1;
	}
};
struct __ { int x, y, c, w; };
_ u[maxm];
__ w[maxm];
bool inq[maxn];
int n, m, k, res;
int gs, gt, tot = 1;
int h[maxn], dis[maxn];
int fl[maxn], pre[maxn];
int vis[maxn], now[maxn], dep[maxn];
inline int min(int x, int y) {
	return x < y ? x : y;
}
bool BFS(int n) {
	std::fill(vis + 1, vis + n + 1, 0);
	std::fill(dep + 1, dep + n + 1, 0); 
	std::queue<int> q;
	dep[gs] = 1, vis[gs] = 1;
	q.push(gs), now[gs] = h[gs];
	while (!q.empty()) {
		int f = q.front();
		q.pop();
		for (int i = h[f]; i; i = u[i].n) {
			int v = u[i].v, w = u[i].c;
			if (vis[v] == 1 || w == 0)
				continue;
			vis[v] = 1, now[v] = h[v];
			dep[v] = dep[f] + 1, q.push(v);
			if (v == gt)
				return 1;
		}
	}
	return 0;
}
int findP(int x, int flow = inf) {
	if (x == gt)
		return flow;
	int rest = flow, i;
	for (i = now[x]; rest && i; i = u[i].n) {
		int v = u[i].v, w = u[i].c;
		now[x] = i;
		if (dep[v] != dep[x] + 1 || w == 0)
			continue;
		int t = findP(v, min(rest, w));
		if (t == 0)
			dep[v] = 0;
		rest -= t;
		u[i].c -= t, u[i ^ 1].c += t;
	}
	return flow - rest;
}
inline int Dinic(int n) {
	int res = 0;
	while (BFS(n)) {
		int t = findP(gs);
		while (t) {
			res += t;
			t = findP(gs);
		}
	}
	return res;
}
inline bool SPFA(int s, int n) {
	std::queue<int> q;
	std::fill(dis + 1, dis + n + 1, inf);
	q.push(s), dis[s] = 0, inq[s] = 1;
	pre[s] = inf, pre[gt] = 0, fl[s] = inf;
	while (!q.empty()) {
		int f = q.front();
		q.pop(), inq[f] = 0;
		for (int i = h[f]; i; i = u[i].n) {
			if (u[i].c == 0)
				continue;
			int v = u[i].v, w = u[i].w;
			if (dis[v] > dis[f] + w) {
				pre[v] = i ^ 1;
				dis[v] = dis[f] + w;
				fl[v] = min(fl[f], u[i].c);
				if (!inq[v])
					inq[v] = 1, q.push(v);
			}
		}
	}
	return pre[gt];
}
inline void SSP(int s, int n) {
	int p, mn, d;
	while (SPFA(s, n)) {
		mn = fl[gt], d = 0;
		for (p = gt; p != s; p = u[pre[p]].v) {
			u[pre[p]].c += mn;
			u[pre[p] ^ 1].c -= mn;
			d += u[pre[p] ^ 1].w;
		}
		res += mn * d;
	}
	return;
}
inline void add(int x, int y, int c, int w) {
	u[++tot] = _(y, c, w, h[x]);
	h[x] = tot;
	return;
}
inline void addf(int x, int y, int c, int w = 0) {
	add(x, y, c, w), add(y, x, 0, -w);
	return;
}
int main() {
	read(n), read(m), read(k);
	gs = 1, gt = n;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		read(w[i].x), read(w[i].y);
		read(w[i].c), read(w[i].w);
		addf(w[i].x, w[i].y, w[i].c);
	}
	print(Dinic(n), ' ');
	gs = n + 1, addf(gs, 1, k, 0);
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
		addf(w[i].x, w[i].y, inf, w[i].w);
	SSP(gs, gt);
	print(res, '\n');
	return 0;
}
} // namespace XSC062
#undef int

C. 航班安排

222.180.160.110:1024/contest/3820/problem/3

很简单一个道理，时间的具体值对我们来说并不重要。能到就是能到，不能到就是不能到。

边权矩阵也并不是全部有用，这条边和任务有关系吗？没有，那就当它是空气。

那什么会对我们产生限制？飞机数量。故容量由飞机数量决定。什么是我们要最大化的值？收益，故我们的费用是支出。

如果飞机能在一个任务结束之后，在另一个任务开始之前飞过去，那就将两个任务连边，容量为 \(1\)，费用为两点间花费。特别地，应将机场拆为大源点和大汇点，并在二者中任选其一拆点（和 T2 类似），好作出 \(K\) 的流量限制。

还有一个小细节，对于一个任务的流量我们也要加以约束，不然碰到流入 \(2\) 流出 \(2\) 这种平衡但不合法的情况就不行了，所以对于任务我们也要按老套路拆点。

#define int long long
namespace XSC062 {
using namespace fastIO;
const int inf = 1e18;
const int maxn = 405;
const int maxm = 4e5 + 5;
struct _ {
	int v, c, w, n;
	_() {}
	_(int v1, int c1, int w1, int n1) {
		v = v1, c = c1, w = w1, n = n1;
	}
};
struct __ {
	int x, y, l, r, c;
	bool operator< (const __ &q) const {
		return l < q.l;
	}
};
_ u[maxm];
__ w[maxn];
bool inq[maxn];
int gs, gt, tot = 1;
int h[maxn], dis[maxn];
int fl[maxn], pre[maxn];
int n, m, k, T, res, fs, ft;
int t[maxn][maxn], f[maxn][maxn];
inline int min(int x, int y) {
	return x < y ? x : y;
}
inline bool SPFA(int s, int n) {
	std::queue<int> q;
	std::fill(dis + 1, dis + n + 1, inf);
	q.push(s), dis[s] = 0, inq[s] = 1;
	pre[s] = inf, pre[gt] = 0, fl[s] = inf;
	while (!q.empty()) {
		int f = q.front();
		q.pop(), inq[f] = 0;
		for (int i = h[f]; i; i = u[i].n) {
			if (u[i].c == 0)
				continue;
			int v = u[i].v, w = u[i].w;
			if (dis[v] > dis[f] + w) {
				pre[v] = i ^ 1;
				dis[v] = dis[f] + w;
				fl[v] = min(fl[f], u[i].c);
				if (!inq[v])
					inq[v] = 1, q.push(v);
			}
		}
	}
	return pre[gt];
}
inline void SSP(int s, int n) {
	int p, mn, d;
	while (SPFA(s, n)) {
		mn = fl[gt], d = 0;
		for (p = gt; p != s; p = u[pre[p]].v) {
			u[pre[p]].c += mn;
			u[pre[p] ^ 1].c -= mn;
			d += u[pre[p] ^ 1].w;
		}
		res += mn * d;
	}
	return;
}
inline void add(int x, int y, int c, int w) {
	u[++tot] = _(y, c, w, h[x]);
	h[x] = tot;
	return;
}
inline void addf(int x, int y, int c, int w) {
	add(x, y, c, w), add(y, x, 0, -w);
	return;
}
int main() {
	read(n), read(m), read(k), read(T);
	fs = 2 * m + 1, ft = 2 * m + 2;
	gs = 2 * m + 3, gt = 2 * m + 4;
	addf(gs, fs, k, 0), addf(ft, gt, k, 0);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			read(t[i][j]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= n; ++j)
			read(f[i][j]);
	}
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		read(w[i].x), read(w[i].y);
		read(w[i].l), read(w[i].r);
		read(w[i].c), ++w[i].x, ++w[i].y;
	}
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		addf(i + m, i, 1, 0);
		if (t[1][w[i].x] <= w[i].l) {
			addf(fs, i + m, 1,
				f[1][w[i].x] - w[i].c);
		}
		if (w[i].r + t[w[i].y][1] <= T)
			addf(i, ft, 1, f[w[i].y][1]);
		for (int j = 1; j <= m; ++j) {
			if (i != j && w[i].r +
				t[w[i].y][w[j].x] <= w[j].l) {
				addf(i, j + m, 1,
					f[w[i].y][w[j].x] - w[j].c);
			}
		}
	}
	SSP(gs, gt);
	print(-res, '\n');
	return 0;
}
} // namespace XSC062
#undef int

D. 修车

http://222.180.160.110:1024/contest/3820/problem/4

顾客数一定，所谓平均等待时间不过是个幌子，只需要求得最小等待总时间。

技术人员不能同时修两辆车，\(M\) 的范围又这么小，不往拆点想都难。可问题来了，怎么拆呢？

我一开始的想法是，用点 \((i, j)\) 表示人 \(i\) 修车 \(j\)，但是这样建图怎样也无法达到目的。

于是我添加了一个维度 \(k\)，用点 \((i, j, k)\) 表示人 \(i\) 修车 \(j\)，并且这是他修的倒数第 \(k\) 辆车，这样建图就轻而易举了。但接下来就面临了一个问题：这数据范围跑不过。于是乎审视我们的点，其实 \(j\) 这个维度是可以被合并的，只保留 \((i, k)\)，因为不可能存在两辆车同时为人 \(i\) 的倒数第 \(k\) 辆车。

故将大源点和每辆车连边，容量为 \(1\)，费用为 \(0\)；将每辆车 \(j\) 和每个 \((i, k)\) 连边，容量为 \(1\)，费用为 \(T_{i, j}\times k\)。

这里有一点点费用提前计算的意思，所以就直接将每个 \((i, j)\) 和大汇点连边，容量为 \(1\)，费用为 \(0\)。

#define int long long
namespace XSC062 {
using namespace fastIO;
const int inf = 1e18;
const int maxn = 1e4 + 5;
const int maxm = 1e6 + 5;
struct _ {
	int v, c, w, n;
	_() {}
	_(int v1, int c1, int w1, int n1) {
		v = v1, c = c1, w = w1, n = n1;
	}
};
_ u[maxm];
bool inq[maxn];
int n, m, x, res;
int gs, gt, tot = 1;
int h[maxn], dis[maxn];
int fl[maxn], pre[maxn];
inline int fun(int i, int j) {
	return n + (i - 1) * n + j;
}
inline int min(int x, int y) {
	return x < y ? x : y;
}
inline bool SPFA(int s, int n) {
	std::queue<int> q;
	std::fill(dis + 1, dis + n + 1, inf);
	q.push(s), dis[s] = 0, inq[s] = 1;
	pre[s] = inf, pre[gt] = 0, fl[s] = inf;
	while (!q.empty()) {
		int f = q.front();
		q.pop(), inq[f] = 0;
		for (int i = h[f]; i; i = u[i].n) {
			if (u[i].c == 0)
				continue;
			int v = u[i].v, w = u[i].w;
			if (dis[v] > dis[f] + w) {
				pre[v] = i ^ 1;
				dis[v] = dis[f] + w;
				fl[v] = min(fl[f], u[i].c);
				if (!inq[v])
					inq[v] = 1, q.push(v);
			}
		}
	}
	return pre[gt];
}
inline void SSP(int s, int n) {
	int p, mn, d;
	while (SPFA(s, n)) {
		mn = fl[gt], d = 0;
		for (p = gt; p != s; p = u[pre[p]].v) {
			u[pre[p]].c += mn;
			u[pre[p] ^ 1].c -= mn;
			d += u[pre[p] ^ 1].w;
		}
		res += mn * d;
	}
	return;
}
inline void add(int x, int y, int c, int w) {
	u[++tot] = _(y, c, w, h[x]);
	h[x] = tot;
	return;
}
inline void addf(int x, int y, int c, int w) {
	add(x, y, c, w), add(y, x, 0, -w);
	return;
}
int main() {
	read(m), read(n);
	gs = n * m + n + 1, gt = gs + 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		addf(gs, i, 1, 0);
	for (int i = 1; i <= n * m; ++i)
		addf(i + n, gt, 1, 0);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= m; ++j) {
			read(x);
			for (int k = 1; k <= n; ++k) {
				addf(i, fun(j, k),
							1, x * k);
			}
		}
	}
	SSP(gs, gt);
	printf("%.2lf", res * 1.0 / n);
	return 0;
}
} // namespace XSC062
#undef int

E. 连连看

http://222.180.160.110:1024/contest/3820/problem/5

样例已经告诉了我们事实：小心删数，因为会有数同时出现在多组勾股数中。

还是熟悉的单点 \(1\) 流量限制，故拆点为入点和出点，入点连大源点容量为 \(1\) 费用为 \(0\)，出点连大汇点容量为 \(1\) 费用为 \(0\)，满足条件的 \(x\) 和 \(y\) 我们为了不整细节就暴力地连双向边然后跑最大费用最大流。

由于双向边这个神必操作，最后的最大流和最大费用都会翻倍，输出的时候要减半。

#define int long long
namespace XSC062 {
using namespace fastIO;
const int inf = 1e18;
const int maxn = 2e3 + 5;
const int maxm = 4e5 + 5;
struct _ {
	int v, c, w, n;
	_() {}
	_(int v1, int c1, int w1, int n1) {
		v = v1, c = c1, w = w1, n = n1;
	}
};
_ u[maxm];
bool inq[maxn];
int l, r, res, cnt;
bool f[maxn][maxn];
int gs, gt, tot = 1;
int h[maxn], dis[maxn];
int fl[maxn], pre[maxn];
int gcd(int x, int y) {
	return y ? gcd(y, x % y) : x;
}
inline int min(int x, int y) {
	return x < y ? x : y;
}
inline bool SPFA(int s, int n) {
	std::queue<int> q;
	std::fill(dis + 1, dis + n + 1, -inf);
	q.push(s), dis[s] = 0, inq[s] = 1;
	pre[s] = inf, pre[gt] = 0, fl[s] = inf;
	while (!q.empty()) {
		int f = q.front();
		q.pop(), inq[f] = 0;
		for (int i = h[f]; i; i = u[i].n) {
			if (u[i].c == 0)
				continue;
			int v = u[i].v, w = u[i].w;
			if (dis[v] < dis[f] + w) {
				pre[v] = i ^ 1;
				dis[v] = dis[f] + w;
				fl[v] = min(fl[f], u[i].c);
				if (!inq[v])
					inq[v] = 1, q.push(v);
			}
		}
	}
	return pre[gt];
}
inline void SSP(int s, int n) {
	int p, mn, d;
	while (SPFA(s, n)) {
		mn = fl[gt], d = 0;
		for (p = gt; p != s; p = u[pre[p]].v) {
			u[pre[p]].c += mn;
			u[pre[p] ^ 1].c -= mn;
			d += u[pre[p] ^ 1].w;
		}
		res += mn * d, cnt += mn;
	}
	return;
}
inline void add(int x, int y, int c, int w) {
	u[++tot] = _(y, c, w, h[x]);
	h[x] = tot;
	return;
}
inline void addf(int x, int y, int c, int w) {
	if (f[x][y])
		return;
	f[x][y] = f[y][x] = 1;
	add(x, y, c, w), add(y, x, 0, -w);
	return;
}
inline bool check(int x, int y) {
	int z = sqrt(x * x - y * y);
	if (z * z + y * y == x * x)
		return (gcd(z, y) == 1);
	return 0;
}
int main() {
	read(l), read(r);
	gs = 2 * r + 1, gt = 2 * r + 2;
	for (int i = l; i <= r; ++i) {
		addf(gs, i, 1, 0);
		addf(i + r, gt, 1, 0);
		for (int j = l; j < i; ++j) {
			if (check(i, j)) {
				addf(j, i + r, 1, i + j);
				addf(i, j + r, 1, i + j);
			}
		}
	}
	SSP(gs, gt);
	print(cnt / 2, ' '), print(res / 2, '\n');
	return 0;
}
} // namespace XSC062
#undef int

F. dance 跳舞

http://222.180.160.110:1024/contest/3820/problem/6

依我看，队名就叫「曾总说的都队」吧 🐵

posted @ 2023-07-20 14:53 XSC062 阅读(34) 评论(0) 编辑收藏举报

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