小数论复习

裁决已至！

称量，你的罪恶！

以此身，肃正万象！

人总是越活越抽象的，所以怎么还不考期末，我要考期末！

A. Min

http://222.180.160.110:1024/contest/3641/problem/1

给出 \(n\) 个数 \(A_{1\sim n}\)，现求一组整数序列 \(X_{1\sim n}\) 使得 \(S = A_1 \times X_1 + A_2 \times X_2 + \cdots + A_n \times X_n > 0\)，且 \(S\) 的值最小。求 \(S_{\min}\)。

题目给得莫名奇妙。不过我们既然要让其尽可能接近 \(0\)，而又不等于 \(0\)，怎么做呢？

先将数组中所有元素取绝对值。对于两个互质的正数 \(a, b\)，能否找到一组 \((x, y)\)，满足 \(ax + by = 1\) 呢？

这是什么？裴蜀定理！所以一定能找到一组整数解 \((x, y)\)，满足上述不定方程。

对于任意两个数 \(a_1, b_1\)，假设其最大公约数为 \(g\)，那我们一定能找到一组 \((x_1, y_1)\)，满足 \(\dfrac {a_1} {g} \times x_1 + \dfrac {b_1} {g} \times y_1 = 1\)。相应地，一定有 \(a_1 x_1 + b_1 y_1 = g\)。并且 \(\text{RSH}\) 的最小正数值就是 \(g\)，因为 \(a_1, b_1\) 不可能通过任意加乘操作（即初等行变换操作）得到一个不包含因子 \(g\) 的值。

故对于给定的数组，求解其所有元素绝对值的 \(\gcd\) 即可。

using namespace fastIO;
int n, g, x;
inline int abs(int x) {
	return x >= 0 ? x : -x;
}
int gcd(int x, int y) {
	return y ? gcd(y, x % y) : x;
}
int main() {
	read(n);
	while (n--) {
		read(x);
		g = gcd(g, abs(x));
	}
	print(g);
	return 0;
}
} // namespace XSC062

B. 向量

http://222.180.160.110:1024/contest/3641/problem/2

给定一对数 \((a, b)\)，你可以任意使用 \((a, b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b), (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)\) 这些数对，使得它们之和为 \((x, y)\)。

我记得我写过题解来着…… 找到了。

首先，我们不将 \(x, y\) 合并处理，各凑各的。

可以得到：

\[n_1 \times a + m_1 \times b = x \\ n_2 \times a + m_2 \times b = y \]

而以上两式分别是否有解，可以用裴蜀定理方便地判断，即 \((a,b)\mid x\) 和 \((a,b)\mid y\) 是否成立。

可是分别有解并不代表能同时有解。为了探究两式是否能同时有解，我们先直接将两式相加。

\[(n_1 + n_2) \times a + (m_1 + m_2) \times b = x + y \]

但这个式子是否有解仅等价于上两式是否同时有解，并不一定在题面的应用场景中成立（即未对系数加以限制，导致不一定存在一组满足题意的解），与我们的目的不符。

不难发现，题目中的向量可以分为两种：\(a, b\) 同号、\(a, b\) 异号。

于是我们将 \(\text {LSH}\) 替换为同号、异号的向量相加的结果，得到：

\[n_3 \times (a + b) + m_3 \times (a - b) = x + y \]

裴蜀定理判断该式和最开头的两个式子是否有解即可。

注意到 \(x + y\) 的操作，实际上是需要开 long long 的。

#define int long long
namespace XSC062 {
using namespace fastIO;
int T, a, b, x, y, g1, g2;
int gcd(int x, int y) {
	return y ? gcd(y, x % y) : x;
}
int main() {
	read(T);
	while (T--) {
		read(a), read(b);
		read(x), read(y);
		g1 = gcd(a, b);
		g2 = gcd(a + b, a - b);
		if (((x + y) % g2 == 0) &&
			(x % g1 == 0) && (y % g1 == 0))
			puts("Y");
		else puts("N");
	}
	return 0;
}
} // namespace XSC062
#undef int

C. 青蛙的约会

http://222.180.160.110:1024/contest/3641/problem/3

两只青蛙在长度为 \(L\) 的环形数轴上往前跳，一只从 \(x\) 开始，一次跳 \(m\) 步；另一只从 \(y\) 开始，一次跳 \(n\) 步。每一次两只青蛙都会同时往前跳一步，求它们跳了几次才能碰头。

省流：\(x + m \times a \equiv y + n \times a \pmod L\)。设成负数是为了好操作。

那么有 \(x + m \times a - y - n \times a = b \times L\)。

化简为 \((m - n) \times a - L \times b = y - x\)。

exgcd 即可。

#define int long long
namespace XSC062 {
using namespace fastIO;
int x, y, m, n, L, k1, k2, g;
inline void swap(int &x, int &y) {
	x ^= y ^= x ^= y;
	return;
}
inline int exgcd(int x, int y) {
	if (y == 0) {
		k1 = 1, k2 = 0;
		return x;
	}
	int u = exgcd(y, x % y), t = k1;
	k1 = k2, k2 = t - (x / y) * k2;
	return u;
}
int main() {
	read(x), read(y);
	read(m), read(n), read(L);
	if (m - n < 0)
		swap(m, n), swap(x, y);
	g = exgcd(m - n, L);
	if ((y - x) % g) {
		puts("Impossible");
		return 0;
	}
	k1 *= (y - x) / g, L /= g;
	k1 = ((k1 % L) + L) % L;
	print(k1);
	return 0;
}
} // namespace XSC062
#undef int

D. 荒岛野人

http://222.180.160.110:1024/contest/3641/problem/4

有 \(N\) 个野人住在长度为 \(M\) 的环形数轴上，每个以 \(C_i\) 为起点，往前走 \(P_i\) 步，能活 \(L_i\) 年，问 \(M\) 至少要多大，才能保证在所有野人死掉前没有两个人撞到一起。保证 \(M\) 有解且 \(M \le 10^6\)。

这个 \(M\) 的范围限制给的，就差把「枚举 \(M\) 并 \(\mathcal O(N^2)\) 验证正确性」写出来了。

那么问题就在于如何验证正确性。很简单，我们对于任意两个野人 \(i, j\)，exgcd 一下，看看相撞的日期是否短于两方的寿命即可。判定方式和青蛙那道题类似，~~所以我直接复制粘贴了~~。

#define int long long
namespace XSC062 {
using namespace fastIO;
const int maxn = 25;
const int inf = 1e18;
int n, mx;
int c[maxn], p[maxn], l[maxn];
inline int min(int x, int y) {
	return x < y ? x : y;
}
inline int max(int x, int y) {
	return x > y ? x : y;
}
inline void swap(int &x, int &y) {
	x ^= y ^= x ^= y;
	return;
}
inline int exgcd(int x, int y,
					int &k1, int &k2) {
	if (y == 0) {
		k1 = 1, k2 = 0;
		return x;
	}
	int u = exgcd(y, x % y, k1, k2);
	int t = k1;
	k1 = k2, k2 = t - (x / y) * k2;
	return u;
}
inline int calc(int m, int n,
					int x, int y, int L) {
	if (m - n < 0)
		swap(m, n), swap(x, y);
	int k1, k2;
	int g = exgcd(m - n, L, k1, k2);
	if ((y - x) % g)
		return inf;
	k1 *= (y - x) / g, L /= g;
	k1 = ((k1 % L) + L) % L;
	return k1;
}
inline bool check(int m) {
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j < i; ++j) {
			if (calc(p[i], p[j], c[i],
				c[j], m) <= min(l[i], l[j]))
				return 0;
		}
	}
	return 1;
}
int main() {
	read(n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		read(c[i]), read(p[i]);
		read(l[i]), mx = max(mx, c[i]);
	}
	for (int i = mx; ; ++i) {
		if (check(i)) {
			print(i);
			break;
		}
	}
	return 0;
}
} // namespace XSC062
#undef int

E. Sumdiv

http://222.180.160.110:1024/contest/3641/problem/5

求 \(A^B\) 的所有约数之和 \(\bmod 9901\)。

假设 \(A = p_1 ^ {d_1} \times p_2 ^ {d_2} \times \cdots \times p_N ^ {d_N}\)，那么有 \(A^B = p_1 ^ {d_1\times B} \times p_2 ^ {d_2\times B} \times \cdots \times p_N ^ {d_N\times B}\)。

那么可以得到答案值为 \(\prod_{i=1}^N (p_i ^ {d_i \times B + 1} - 1) \div (p_i - 1)\)。后面的内容就是对于 \(p_i\) 的所有因数和。

怎么得到的呢？明显 \(p_i\) 的因数和其实就是幂次和，即 \(\sum_{j = 1}^{d_i\times B}{p_i}^j\)。这是什么？等比数列！整一个求和公式就可以了。

取模的话好处理，随便逆元一下就可以了。

#define int long long
namespace XSC062 {
using namespace fastIO;
const int mod = 9901;
int A, B, res = 1;
inline int qkp(int x, int y) {
	int res = 1;
	while (y) {
		if (y & 1)
			(res *= x) %= mod;
		(x *= x) %= mod;
		y >>= 1;
	}
	return res;
}
inline int getinv(int x) {
	return qkp(x, mod - 2);
}
inline int calc(int p, int d) {
	return ((qkp(p, d + 1) - 1) *
					getinv(p - 1)) % mod;
}
int main() {
	read(A), read(B);
	for (int i = 2; i <= A; ++i) {
		if (A % i)
			continue;
		int tot = 0;
		while (A % i == 0)
			++tot, A /= i;
		(res *= calc(i, tot * B)) %= mod;
	}
	print(res);
	return 0;
}
} // namespace XSC062
#undef int

F. 排课表

http://222.180.160.110:1024/contest/3641/problem/6

在 \(n\) 节课中选 \(m\) 节来上，\(n\) 节课中有 \(a\) 节不能放在第一节，\(b\) 节不能放在最后一节，两者无重合，求排课方案数。

小容一个斥。算出总方案数，减去第一节课选了 \(a\) 节中某一节的方案数，再减去最后一节课选了 \(b\) 节中的某一节的方案数，最后加上第一节选了 \(a\) 节中的某一节、同时最后一节课选了 \(b\) 节中的某一节的方案数即可。

那么答案的值就是 \(A_n^m - a * A_{n - 1} ^ {m - 1} - b * A_{n - 1} ^ {m - 1} + a * b * A(n - 2, m - 2)\)。

#define int long long
namespace XSC062 {
using namespace fastIO;
const int lim = 1e5;
const int maxn = 1e5 + 5;
const int mod = 998244353;
int fac[maxn];
int T, n, m, a, b, res;
inline int qkp(int x, int y) {
	int res = 1;
	while (y) {
		if (y & 1)
			(res *= x) %= mod;
		(x *= x) %= mod;
		y >>= 1;
	}
	return res;
}
inline int getinv(int x) {
	return qkp(x, mod - 2);
}
inline int A(int n, int m) {
	return (fac[n] * getinv(fac[n - m])) % mod;
}
int main() {
#ifdef ONLINE_JUDGE
	freopen("arrange.in", "r", stdin);
	freopen("arrange.out", "w", stdout);
#endif
	read(T);
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= lim; ++i)
		fac[i] = (fac[i - 1] * i) % mod;
	while (T--) {
		read(n), read(m);
		read(a), read(b);
		res = A(n, m) - a * A(n - 1, m - 1);
		res = (res % mod + mod) % mod;
		res -= A(n - 1, m - 1) * b;
		res = (res % mod + mod) % mod;
		res += a * A(n - 2, m - 2) * b;
		res %= mod;
		print(res, '\n');
	}
	return 0;
}
} // namespace XSC062
#undef int

G. 字符串

http://222.180.160.110:1024/contest/3641/problem/7

生成一个长度为 \(n + m\) 的字符串，满足其中包含 \(n\) 个 '1' 和 \(m\) 个 '0'，且对于任意 \(1\le i \le n + m\)，满足字符串的前 \(i\) 个字符中，'1' 的数量大于等于 '0' 的数量。

posted @ 2023-05-27 18:47 XSC062 阅读(16) 评论(0) 编辑收藏举报

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