归档 220924 | 线性基学习笔记

下文中的「线性基」都是指异或线性基。

我自认为比 GM 给的那篇博客讲的清楚，，，当然是假的。

不过说起来我不是很懂为什么 CSP 之前要学这么偏的知识点。。。

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定义

给出一个序列，存在一个由 任意整数 构成的集合，满足原序列中的任意一个数都可以由若干个集合中的数 异或 得到，这个不一定唯一的集合被称为线性基。

性质

1. 原序列中的任意一个数都可以由线性基中的若干个数异或得到。

2. 线性基中任意若干个数异或起来都不为 \(0\)。

3. 在所有满足 \(1,2\) 性质的整数序列中，线性基的大小最小。

4. 存在性：任意整数序列均存在至少一个线性基。

   明显这个东西我不会证也看不懂，所以我们拉一段 wiki 上的话。

   设线性空间 \(V\) 的全体线性无关向量组为 \(\mathscr F\), 显然 \((\mathscr F, \subseteq)\) 构成偏序集。

   翻译一下。

   设 \(V\) 是原序列，则 \(\mathscr F\) 包含 所有满足性质 1 和 2，但不一定满足性质 3 的集合。也就是说 \(\mathscr F\) 是一个集合套集合。

   而 \((\mathscr F,\subseteq)\) 是一个偏序集，就是 CDQ 那个偏序，\(\subseteq\) 的意思是，为 \(\mathscr F\) 规定一个附带的条件 \(\subseteq\)，会为一些操作给出限制，但里面包含的元素与 \(\mathscr F\) 完全一致。

   容易验证 \((\mathscr F,\subseteq)\) 上的任意全序子集均有上界，故由 Zorn 引理，\(\mathscr F\)有极大元 \(F\)。

   全序集是指，对于任意 \(a,b\in (\mathscr F,\subseteq)\)，若 \(a,b\in F\)，且 \(a\subseteq b\) 和 \(b\subseteq a\) 中至少有一个成立，则称 \((\mathscr F,\subseteq)\) 为全序集。

   那么这句话的意思就是，\((\mathscr F,\subseteq)\) 中的任意全序子集 \(B\) 都能找到一个 \(a\in (\mathscr F,\subseteq)\)，满足对于任意 \(x\in B\)，都有 \(x\subseteq a\)。

   这个非常的明显，因为对于任意集合 \(S\) 满足性质 1 和 2，我们都可以通过在满足性质 1 和 2 的情况下不断向里面添加元素得到更大的集合 \(S'\)，此时 \(S\subseteq S'\)。

   有 Zorn 引理：

   在任何一非空的偏序集中，若任何全序的子集都有上界，则此偏序集内必然存在（至少一枚）极大元。

   所以这个时候 \(\mathscr F\) 就存在一个极大元 \(F\)。极大元的意思是，无法找到 \(\mathscr F\) 中的其他元素 \(a\)，满足 \(a\subseteq F\)。

   注意虽然这里我们管 \(F\) 叫极大元，但因为偏序 \((\mathscr F,\subseteq)\) 的运算符为 \(\subseteq\)，所以 \(F\) 实际上是大小最小的。然后我们知道 \(\mathscr F\) 由所有满足性质 1 和 2，但不一定满足性质 3 的集合构成，所以 \(F\) 就是线性基。

实现

假设原序列为 \(A\)，现在已经得到 \(A_1\sim A_{i-1}\) 的线性基，接下来需要在这个线性基上作出修改，使得其成为 \(A_1\sim A_i\) 的线性基。

一个简单的方法是插入。

inline bool Hamel(int x) {
	for (int i = 55; ~i; --i) {
		if (x & (1ll << i)) {
			if (h[i])
				x ^= h[i];
			else {
				h[i] = x;
				return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

接下来我们来验证进行了插入操作的 \(h\) 数组是否为 \(A_1\sim A_i\) 的线性基。

首先我们需要知道：因为插入成功，即 return 1 时，因为大前提是 x & (1ll << i) == true，所以 \(h_i\) 的第 \(i\) 位一定为 \(1\)。

1. 原序列中的任意一个数都可以由线性基中的若干个数异或得到

   问题可转化为 \(A_i\) 是否可以由 \(h\) 中的若干个数异或得到。

   • 当插入操作失败，即执行 return 0 时

     那么这时候，对于任意时刻的 \(x\)，它的首位（第 \(i\) 位），\(h_i\ne 0\)。

     上面我们也说了，\(h_i\) 的第 \(i\) 位为 \(1\)，然后它会和 \(x\) 进行异或，此时 \(x\) 的第 \(i\) 位为 \(0\)。

     从 \(i=1\) 开始推导，可以发现 \(h\) 数组满足 \(h_i\) 的最高位为第 \(i\) 位。那么 \(x\) 的最高位被清除。

     循环结束，\(i\) 枚举了 \(x\) 任意时刻的所有最高位并将其清除，此时 \(x\) 为 \(0\)。

     也就是说，\(x\) 在 \(h\) 中一通异或，直到自己被消干净了也没能找到一个空位插进去。

     因为 \(x\) 全程只通过与 \(h_i\) 异或改变自身的值，所以可以得到：

     \[x\oplus h_{a_1}\oplus h_{a_2}\oplus\cdots\oplus h_{a_k}=0 \]

     两边同时异或上 \(x\) 得：

     \[h_{a_1}\oplus h_{a_2}\oplus\cdots\oplus h_{a_k}=x \]

     此时 \(x\) 不需要被插入，原线性基即为 \(A_1\sim A_i\) 线性基。

   • 当插入操作成功，执行 return 1 时

     同理可得 \(x\oplus h_{a_1}\oplus h_{a_2}\oplus \cdots \oplus h_{a_k}=h_i\)。

     两边同时异或 \(h_i\)，得：

     \[x\oplus h_{a_1}\oplus h_{a_2}\oplus \cdots \oplus h_{a_k}\oplus h_i=0 \]

     再同时异或 \(x\)，得：

     \[h_{a_1}\oplus h_{a_2}\oplus \cdots \oplus h_{a_k}\oplus h_i=x \]

     则若将 \(x\) 的剩余部分插入到 \(h_i\)，插入合法。

2. 线性基中任意若干个数异或起来都不为 \(0\)。

   即线性基中不存在相同元素。

   考虑 \(h_i=0\) 时对 \(x\) 的插入。数学归纳可得，\(h_i\) 数值的最高二进制位是第 \(i\) 位。将最高位为 \(i\) 的 \(x\) 插入到线性基中时，若线性基中已存在与 \(x\) 相同的数值，则其最高位也为 \(i\)，则该线性基中元素必定是 \(h_i\)，与 \(h_i=0\) 的插入前提条件矛盾。

   故线性基中不存在相同元素。

后面写了一堆没保存。抑郁了。摆了。