初二普及组全真模拟赛 前三题

1.数你太美【第一周】

题目描述

PB 获得了两个正整数数列 $a_i,b_i$，长度分别为 $n,m$ ，其中每个数都小于 $10$。 定义一个正整数是“美丽的正整数”，当且仅当:这个数的十进制表示中，至少有一个 数位上的数在数列 $a_i$ 出现过，至少有一个数位上的数在数列 $b_i$ 出现过。现在 PB 希 望求出最小的“美丽的正整数”。

输入格式

第一行，两个正整数 $n,m$ ;

第二行，n 个正整数，第 $i$ 个为 $a_i$;

第三行，m 个正整数，第 $i$ 个为 $b_i$ 。

输出格式

一行，一个正整数表示最小的“美丽的正整数”。

样例

样例输入1

2 3
2 4
6 5 2

样例输出 1

2

样例解释 1

2 既在数列 a 中出现又在数列 b 中出现，且可知没有比 2 小的正整数是“美丽的正整 数”。

样例输入 2

2 6
8 7
1 1 4 5 1 4

样例输出 2

17

样例解释 2:

17 中有数位 1,7 。1 在数列 b 中出现， 7 在数列 a 中出现，且可以证明没有比 17 小 的正整数是“美丽的正整数”。

数据范围与提示

对于 $30\%$ 的数据， $1\le n,m\le 4$;
对于 $100\%$ 的数据， $1\le n,m\le 9,1\le a_i,b_i\le 9$ 。

60分思路：

• 求出数列 a,b 的最小值 mn1,mn2；

• 若 mn1与mn2相等，输出其中一个（样例1）；

• 否则先输出 $min(mn1,mn2)$，再输出 $max(mn1,mn2)$。（样例2）

如果你是这样做的，那大概思路是莫得问题的了，但样例没给出，你就没想到数据可能长这样：

2 2
3 1
3 2

那么此时你的程序会输出 $12$,但是正确答案是$3$。

所以我们用2*9的数组vis给a,b中出现的数打标记，若 $vis[x][0]\&vis[x][1]$，就可以输出x且结束程序了。

AC代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,x;
bool vis[10][2];
int mn1=9,mn2=9;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	while(n--){
		scanf("%d",&x);
		vis[x][0]=1;
		mn1=min(mn1,x);
	}
	while(m--){
		scanf("%d",&x);
		vis[x][1]=1;
		mn2=min(mn2,x);
	}
	for(int i=1;i<10;++i){
		if(vis[i][0]&vis[i][1]){
			printf("%d",i);
			return 0;
		}
	}
	printf("%d%d",min(mn1,mn2),max(mn1,mn2));
	return 0;
}

2.逃亡【第一周】

题目描述

从前有个平面直角坐标系，坐标系里有座学校。这是一个矩形，左下角是 $(0,0)$，右上角是 $(n,m)$。有 k 个蒟蒻在校园中。第 $i$ 个蒟蒻在 $(x_i,y_i)$ 的位置。由于一些不可 抗因素，所有 $x_i$ 互不相同，所有 $y_i$ 互不相同。这时 PB 要来抓蒟蒻们做实验了!

蒟蒻们听到这个消息，也是四处逃亡，只要逃到校园的边界上就不会被 PB 抓到。 每个蒟蒻可以沿着任意路线逃亡。然而蒟蒻们反应迟钝，所以如果两个蒟蒻的逃亡路线 有交点，它们就有可能相撞，就会被 PB 抓住。所以任意两人的路线不能有交点。

现在蒟蒻们想知道，蒟蒻全部能成功逃亡的路线的长度之和的最小值。(虽然，这 对神通广大的 PB 根本不是一回事…)

输入格式

第一行三个整数 $n,m,k$，相邻两数用一个空格分开。

接下来 $k$ 行，第 $i$ 行两个正整数 $x_i$ 和 $y_i$，用一个空格分开。

输出格式

一行一个数表示总距离的最小值，保留 3 位小数。

样例

样例输入

5 5 1
1 2

样例输出

1.000

数据范围与提示

对于前 $30\%$ 的数据，$0\le n,m\le 6,1\le k\le 5$。

对于前 $100\%$ 的数据，$0\le n,m\le 10^9,1\le k\le 5000,1\le x_i<n,1\le y_i\le m$

对于所有数据，$xi$ 互不相同，$yi$ 互不相同。

呀！这题我怎么看不懂？换题！

(做完3题)

咦？对于所有数据，$xi$ 互不相同，$yi$ 互不相同？这不就是道入门题中的水题吗？

不就是求 $x_i-0,y_i-0,n-x_i,m-y_i$ 的最小值吗？

切了它！

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using std::min;
int n,m,k,x,y;
double ans;
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	while(k--){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		ans+=min(1.0*min(x,y),1.0*min(n-x,m-y));
	}
	printf("%.3lf",ans);
	return 0;
}

(代码量比第一题还少。。。)

(感觉那句保留3位小数就是个装饰。。。)

3.数数字【第一周】

题目描述

PB 带来了若干只蒟蒻。

众所周知，NTF 是数论学会的会长，于是 PB 准备用数字击败 NTF，以证明 PB 比 NTF 更强。

于是 PB 准备了一些卡片，并在每个蒟蒻头上都贴了一张卡牌。每个卡牌上都写了一个数字。

由于蒟蒻太弱了，甚至不会看镜子来了解自己头上的数字，但他们由于经常被大佬吊打，所以观察力敏锐，他们都知道别人头上的数字。

第 $i$ 个蒟蒻会告诉你他看到了 $a_i$ 种数字(定义两个数字不同种当且仅当它们的值不同)

但是由于蒟蒻太弱了，可能会报错数据，NTF 需要核实是否有一种情况使所有蒟蒻说的话都正确。(可能情况不唯一)

输入格式

多组测试，文件第一行一个整数 $T$，表示测试数据组数;

对于每组数据，第一行，一个整数 $n$，表示蒟蒻的数量;

第二行，$n$ 个整数用空格隔开，表示数组 $a_i$，意义同题面。

输出格式

如果至少有一种情况使所有蒟蒻的话都正确，输出"yes"，否则，输出"no"。

样例

样例输入

2
2
1 1
4
1 3 2 2

样例输出

yes
no

数据范围与提示

对于所有数据，$T\le 10$

对于 20% 的数据，$n\le 8$

对于所有数据，$1\le n\le 1000000,0\le a_i<n$

• Step 1

  在输入时求出a中的max和min

  (这数据貌似挺大，建议先把读优加上)

  开始分类讨论。

• Step 2

  如果 $max-min\ge 2$，就可以愉快地输出"no"了。

  why？

  最坏的情况也不过就是蒟蒻A和其他蒟蒻头上的数字都是x,蒟蒻B是y，蒟蒻A会比蒟蒻B多看到一个数值，如果A比B多看到了一个以上，就不可能了。

• Step 3

  如果 $max==min$

  • Step 3-1

    第一种可能性，全部蒟蒻头上的数都是同一个，也就是 $max==1$，输出"yes"。

  • Step 3-2

    第二种可能性，全部蒟蒻头上的数都不同，也就是 $max==n-1$，输出"yes"。

  • Step 3-3

    第三种可能性， $max\times 2\le n$，输出"yes"。

    why？

    设除蒟蒻A头上的数$x$唯一外，其他蒟蒻头上的数值的数量均 $\ge 2$。

    那么除了蒟蒻A外，其他所有蒟蒻都可以看到自己的"友军"头上的数和其他所有数，但是蒟蒻A没有"友军"，所以会比其他蒟蒻少看到一个数，与 $max==min$ 的条件矛盾。

    所以，每个数值的数量必须$\ge 2$。

    而由于每个蒟蒻都可以看见max种数，得出max就是所有数的种类数，所以最少有 $2\times max$ 个数，也就是 $2\times max$ 个蒟蒻，而蒟蒻总数为n，所以 $max\times 2$ 必须 $\le n$。

  • else

    输出"no"。

• Step 4

  我们在Step 1输入的时候算出和min相等的值x，也就是说，有 x个蒟蒻头上的值是唯一的，那么，除去这x个蒟蒻以外的 $n-x$ 个蒟蒻头上的值的数量都 $\ge 2$。

  是不是很眼熟？我们想起了我们在Step 3-3所得到的结论：当 $max==min$时，所有数值的数量 $\ge 2$，$2\times max\le n$，而此时的不等式中的n就是 $n-x$，但不等式中的max是多少呢？

  max是看见的x个无"友军"蒟蒻和剩余的数值个数的和——

  那么，只要把x减去，剩余的，不就是数量 $\ge 2$的数值种类和了吗？

  所以我们得到了:$(max-x)\ast 2<=n$。

  又∵max总不可能是个非正整数，所以max应该 $>x$。

  若同时满足上面两个条件，就可以输出"yes"了，否则输出"no"。

奇怪的发际线上升了！

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int T,n,mn,mx,x,a[1000005];
inline void read(int&x){
	x=0;
	int f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-')f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch<='9'&&ch>='0'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	x*=f;
	return;
}
int main(){
	read(T);
	while(T--){
		mx=0,mn=1000005;
		read(n);
		for(int i=1;i<=n;++i){
			read(a[i]);
			if(a[i]<mn){
				x=0;
				mn=a[i];
			}
			else if(mn==a[i])
				x++;
			mx=max(mx,a[i]);
		}
		if(mx-mn>=2){
			puts("no");
			continue;
		}
		if(mn==mx){
			if(mx+1==n||mx==1||(mx<<1)<=n)
				puts("yes");
			else puts("no");
		}
		else{
			if(((mx-x)<<1)<=n-x&&x<mx)
				puts("yes");
			else puts("no");
		}
	}
	return 0;
}

看看咱这次的赞能不能突破……0个吧、、、