【题解】后缀数组

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后缀数组 (\(SA\)) 是一种重要的数据结构，通常使用倍增或者 \(DC3\) 算法实现，这超出了我们的讨论范围。在本题中，我们希望使用快排、\(Hash\) 与二分实现一个简单的 \(O(n \ log^2⁡n )\) 的后缀数组求法。详细地说，给定一个长度为 \(n\) 的字符串 \(S\)（下标 \(0\)~\(n-1\)），我们可以用整数 \(k(0\le k<n)\) 表示字符串S的后缀 \(S(k\)~\(n-1)\)。把字符串S的所有后缀按照字典序排列，排名为 \(i\) 的后缀记为 \(SA[i]\)。额外地，我们考虑排名为 \(i\) 的后缀与排名为 \(i-1\) 的后缀，把二者的最长公共前缀的长度记为 \(Height[i]\)。我们的任务就是求出 \(SA\) 与 \(Height\) 这两个数组。

输入格式

一个字符串，长度不超过30万。

输出格式

第一行为数组 \(SA\)，相邻两个整数用1个空格隔开。

第二行为数组 \(Height\)，相邻两个整数用1个空格隔开，特别地，假设 \(Height[1]=0\)。

样例

样例输入

ponoiiipoi

样例输出

9 4 5 6 2 8 3 1 7 0
0 1 2 1 0 0 2 1 0 2

数据范围与提示

样例解释

排名第一（最小）的后缀是 \(9\)（\(S[9\)~\(9]\)，即字符串 \(i\)），第二的是后缀 \(4\)(\(S[4\)~\(9]\)，即字符串 \(iiipoi\)），第三的是后缀 \(5\)（ \(S[5\)~\(9]\)，即字符串 \(iipoi\)）以此类推。\(Height[2]\) 表示排名第 \(2\) 与第 \(1\) 的后缀的最长公共前缀，长度为 \(1\) ，\(Height[3]\) 表示排名第 \(3\) 与第 \(2\) 的后缀的最长公共前缀，长度为 \(2\) ，以此类推。

Solution

这不就一道 裸的 字符串Hash嘛。

对 \(s[x]\) 与 \(s[y]\) 的最长公共前缀进行二分，其中 \(s\) 为输入的字符串。

Q:不是求后缀吗，怎么就变成前缀了？

A:是按后缀字典序排序，对于两个串的字典序排序，若两个串的首字符相同，忽略该字符，比较下一个字符，直到两个串首字符不同或其中一个串为空为止。

二分时会用到 \(Hash\) ：比较 \(s[x]\)~\(s[x+mid]\) 与 \(s[y]\)~\(s[y+mid]\) 是否为同一个前缀。其中 \(x\)、\(y\) 为 \(\operatorname{cmp}\) 提供的参数，也就是需要进行比较的字符串首位下标。

此时的二分求的是两个串的最长公共前缀长度，在求 \(Height\) 时也可以用到。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using std::sort;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn=1e6+5;
const int p=13331;
int len;
char s[maxn];
int sa[maxn];
ull hash[maxn],q[maxn];
ull Hash(int l,int r){
	return hash[r]-hash[l-1]*q[r-l+1];
}
int max(int x,int y){
	return x>y?x:y;
}
int binary_answer(int x,int y){
	if(s[x]!=s[y])return 0;
	int l=0,r=len-1-max(x,y),mid;
	while(l<r){
		mid=l+r+1>>1;
		if(Hash(x,x+mid)==Hash(y,y+mid)&&x+mid<len&&y+mid<len)
			l=mid;
		else r=mid-1;
	}
	return l+1;
}
bool cmp(int x,int y){
	int l=binary_answer(x,y);
	return s[x+l]<s[y+l];
}
int main(){
	scanf("%s",s);
	len=strlen(s);
	q[0]=1;
	hash[0]=s[0]-'a'+1;
	for(int i=1;i<len;++i){
		sa[i]=i;
		hash[i]=hash[i-1]*p+s[i]-'a'+1; 
		q[i]=q[i-1]*p;
	}
	sort(sa,sa+len,cmp);
	for(int i=0;i<len;++i)
		printf("%d ",sa[i]);
	printf("\n0 ");
	for(int i=1;i<len;++i)
		printf("%d ",binary_answer(sa[i],sa[i-1]));
	return 0;
}