【题解】妞妞的三个盒子

题目背景

妞妞在公园里游玩时捡到了很多小球，而且每个球都不一样。妞妞找遍了全身只发现了 \(3\) 个一模一样的盒子。她打算把这些小球都装进盒子里（盒子可以为空）。她想知道她总共有多少种放法。

问题描述

将 \(N\) 个不同的球放到3个相同的盒子里，求放球的方案总数 \(M\) 。 结果可能很大，我们仅要求输出 \(M\bmod K\)的结果。 现在，妞妞已经统计出了 \(N\le10\) 的所有情况。见下表：

N	M
1	1
2	2
3	5
4	14
5	41
6	122
7	365
8	1094
9	3284
10	9842

输入格式

两个整数 \(N\) , \(K\)，\(N\) 表示球的个数。

输出格式

输出仅包括一行，一个整数 \(M \bmod K\)。

样例

输入样例

11 10000

输出样例

9525

数据范围与提示

对于 \(40\%\) 数据, \(10\le N\le10,000\) ； 对于 \(100\%\)数据, \(10\le N\le 10^9\) ，\(K\le100000\)。

蒟蒻专属——找规律！
小心翼翼地，把表格的第二栏乘 \(2\) ~

N	M'
1	2
2	4
3	10
4	28
5	82
6	244
7	730
8	2188
9	6568
10	19684

再不动声色，减一个 \(1\)~

N	M''
1	1
2	3
3	9
4	27
5	81
6	243
7	729
8	2187
9	6567
10	19683

我们发现，\(M''=3^{N-1}\)，而 \(M=(M''+1)\div2\) ，也就是说，\(M=(3^{N-1}+1)\div 2\) !
这不就好求了嘛。
可恨的是，这辣鸡题目居然还要取模！
你说你出道题，别人好不容易把规律找出来了，你还让别人重学数论！
(╯>皿<)╯((( ┷━━━┷ 掀桌

在无数次 \(BDFS\) 后，我们 \(search\) 到了下面这个公式：

\[(a\div b)\bmod m=(a\bmod(b\times m))\div b \]

那么，我们可以得到：

\[M=((3^{N-1}+1)\bmod(2\times m))\div 2 \]

斯国一！那么接下来。。。

Code

#include<cstdio>
typedef long long ll;
ll n,mod,ans;
ll ksm(ll ds,ll zs){
	ll ans=1;
	while(zs){
		if(zs&1)ans=ans*ds%mod;
		ds=ds*ds%mod;
		zs>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	freopen("bags.in","r",stdin);
	freopen("bags.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&n,&mod);
	mod<<=1;
	ans=ksm(3,n-1)%mod;
	printf("%lld",(((ans+1)%mod)>>1)%mod);
	return 0;
}

end.