数论：整除、同余

整除、同余

---

整除的概念：

设 $a$ , $b$ 为整数（$a\ne0$），如果存在一个整数 $q$，使得 $a\times q=b$，则称 $b$ 能被 $a$ 整除，记为 $a\mid b$，且称 $b$ 是 $a$ 的倍数，$a$ 是 $b$ 的因子。

整除的几个性质：

1. 传递性：如果 $a\mid b$ 且 $b\mid c$，则 $a\mid c$.

   • 证明：

     $\because \ a\mid b$ , $b\mid c$

     令 $b=a\times k_1(k_1\in Z$ , $k_1\ne0)$

     令 使得 $c=b\times k_2=a\times k_1\times k_2(k_2\in Z$ , $k_2\ne0)$

     $\because \ a\mid (a\times k_1\times k_2)$

     $\therefore \ a\mid c$

2. $a\mid b$ 且 $a\mid c$ 等价于对于任意的整数 $x$，$y$，有 $a\mid (b\times x+c\times y)$.

   • 证明：

     $\because \ a\mid b$ , $a\mid c$

     令 $b=a\times k_1$ , $c=a\times k_2(k_1$ , $k_2\in Z$ , $k_1$ , $k_2\ne0)$

     $\begin{aligned}则 \ b\times x+c\times y&=a\times k_1\times x+a\times k_2 \times y \\ &=a\times(k_1\times x+k_2\times y)\end{aligned}$

     $\because x,y\in Z$

     $\therefore \ a\mid [a\times (k_1\times x+k_2\times y)]$

     $\therefore \ a\mid (b\times x+c\times y)$

3. 设 $m\ne0$，则 $a\mid b\Rightarrow(m\times a)\mid(m\times b)$.

   • 证明：

     $\because \ m\ne0$ , $a\mid b$

     令 $b=a\times k(k\in Z$ , $k\ne0)$

     则 $m\times b=m\times a\times k$

     $\because (m\times a)\mid(m\times a\times k)$

     $\therefore (a\mid b)\Rightarrow (m\times a)\mid(m\times b)$

4. 设整数 $x$ , $y$ 满足下式：$a\times x+b\times y=1$ ，且$a\mid n$，$b\mid n$，那么 $(a\times b)\mid n$.

   • 证明：

     $\because a\mid n$ , $b\mid n$

     $\therefore \ a$ , $b\in Z$ , $a$ , $b\ne0$

     $\because \ a\times x+b\times y=1$

     $\therefore \ x=1$ , $y=0$ , $a=1$ , 或 $x=0$ , $y=1$ , $b=1$

     • 当 $x=1$ , $y=0$ , $a=1$

       $\because b\mid n$ , $a=1$

       $\therefore a\times b=1\times b=b\times n$

     • 当 $x=0$ , $y=1$ , $b=1$

       $\because \ a\mid n$ , $b=1$

       $\therefore \ a\times b=1\times a=a\times n$

5. 若 $b=q\times d+c$ ，那么 $d\mid b\iff d\mid c$.

   • $d\mid b\Rightarrow d\mid c$：

     • 证明：

       $\because \ b=q\times d+c$

       $\because d\mid b$ , $d\mid(q\times d)$

       $\therefore d\mid c$

   • $d\mid c\Rightarrow d\mid b$:

     • 证明：

       $\because b=q\times d+c$

       $\because \ d\mid(q\times d)$ , $b\mid c$

       $\therefore \ d\mid(q\times d+c)$

       $\therefore \ d\mid b$

同余的几个性质：

1. 同加性：若 $a\equiv b\pmod{m}$ 则 $a+c\equiv b+c\pmod{m}$

   • 证明：

     $\because \ m\mid(a-b)$

     $\therefore \ m\mid(a-b+c-c)$

     $\therefore \ m\mid[(a+c)-(b+c)]$

     $\therefore \ a+c\equiv b+c\pmod{m}$

2. 同减性：若 $a\equiv b\pmod{m}$ 则 $a-c\equiv b-c\pmod{m}$

   • 证明：

     $\because \ m\mid(a-b)$

     $\therefore \ m\mid(a-b+c-c)$

     $\therefore \ m\mid[(a-c)-(b-c)]$

     $\therefore a-c\equiv b-c\pmod{m}$

3. 同乘性：若 $a\equiv b\pmod{m}$ 则 $a\times c\equiv b\times c\pmod{m}$

   • 证明：

     $\because \ m\mid(a-b)$

     $\therefore \ m\mid[(a-b)\times c]$

     $\therefore \ m\mid(a\times c-b\times c)$

     $\therefore \ a\times c\equiv b\times c\pmod{m}$

4. 同除性：若 $a\equiv b\pmod{m}$ ,且 $c\mid a$ , $c\mid b$ , $\gcd(c$ , $m)=1$ ,则 $a\div c\equiv b\div c\pmod{m}$

   • 证明：

     $\because \ c\mid a$ , $c\mid b$

     令 $a=c\times k_1$ , $b=c\times k_2(k_1$ , $k_2\in Z$ , $k_1$ , $k_2\ne0)

     $\begin{aligned}a-b & =c\times k_1-c\times k_2 \\ & =c\times(k_1-k_2)\end{aligned}$

     $\because \ m\mid(a-b)$

     $\therefore m\mid[c\times(k_1-k_2)]$

     $\because \ \gcd(c,m)=1$

     $\therefore \ m\mid(k_1-k_2)$

     $\therefore m\mid[(a-b)\div c]$

     $\to m\mid(a\div c-b\div c)$

     $\therefore \ a\div c\equiv b\div c\pmod{m}$

5. 同幂性：若 $a\equiv b\pmod{m}$ , $c>0$ , 则 $a^c\equiv b^c\pmod{m}$

   • 证明：

     $\because \ a^c-b^c=(a-b)\times(a^{c-1}\times b^0+a^{c-2}\times b^1+a^{c-3}\times b^2+...+a^1\times b^{c-2}+a^0\times b^{c-1})$

     又 $\because \ m\mid(a-b)$

     $\therefore \ m\mid(a-b)\times(a^{c-1}\times b^0+a^{c-2}\times b^1+a^{c-3}\times b^2+...+a^1\times b^{c-2}+a^0\times b^{c-1})$

     $\to m\mid(a^c-b^c)$

     $\therefore \ a^c\equiv b^c\pmod{m}$

6. 若 $a\bmod p=x$ , $a\bmod q=x$ ,且 $p$ , $q$ 互质，则 $a\bmod(p\times q)=x$

   • 证明：

     $\because \ a\bmod p=x$ , $a\bmod q=x$

     令 $b=a-x$

     $\because \ p\mid b$

     $\because \gcd(q,p)=1$

     $\therefore \ \operatorname{lcm}(p$ , $q)=p\times q$ , $q\mid b$

     $\therefore \ \operatorname{lcm}(p$ , $q)\mid b$

     $\to (p\times q)\mid b$

     $\to a\bmod(p\times q)=x$

数论小常识：

1. 若 $2$ 能整除 $a$ 的最末位，则 $2\mid a$

   • 证明：
     令 $a=10\times k_1+k_2(k_1$ , $k_2\in Z$ , $\left\vert k_2\right\vert<10)$

     $\because \ 2\mid k_2$ , $2\mid(10\times k_1)$

     $\therefore \ 2\mid(10\times k_1+k_2)$

     $\therefore \ 2\mid a$

2. 若 $4$ 能整除 $a$ 的末两位，则 $4\mid a$

   • 证明：

     令 $a=100\times k_1+k_2(k_1$ , $k_2\in Z$ , $\left\vert k_2\right\vert<100)$

     $\because \ 4\mid k_2$ , $4\mid(100\times k_1)$

     $\therefore \ 4\mid(100\times k_1+k_2)$

     $\therefore \ 4\mid a$

3. 若 $8$ 能整除 $a$ 的末三位，则 $8\mid a$

   • 证明：

     令 $a=1000\times k_1+k_2(k_1$ , $k_2\in Z$ , $\left\vert k_2\right\vert<1000)$

     $\because \ 8\mid k_2$ , $8\mid(1000\times k_1)$

     $\therefore \ 8\mid(1000\times k_1+k_2)$

     $\therefore \ 8\mid a$

4. 若 $3$ 能整除 $a$ 的各位数字之和，则 $3\mid a$

   • 证明：

     $\begin{aligned}令 \ a&=1\times k_0+10\times k_1+100\times k_2+... \\ &=(0+1)\times k_0+(9+1)\times k_1+(99+1)\times k_2+... \\ &=(0\times k_0+9\times k_1+99\times k_2+...)+(k_0+k_1+k_2+...)\end{aligned}$

     $\because \ 3\mid(0\times k_0+9\times k_1+99\times k_2+...)$ , $3\mid(k_0+k_1+k_2+...)$

     $\therefore \ 3\mid(0\times k_0+9\times k_1+99\times k_2+...)+(k_0+k_1+k_2+...)$

     $\therefore \ 3\mid a$

5. 若 $9$ 能整除 $a$ 的各位数字之和，则 $9\mid a$

   • 证明：

     $\begin{aligned}令 \ a&=1\times k_0+10\times k_1+100\times k_2+... \\ &=(0+1)\times k_0+(9+1)\times k_1+(99+1)\times k_2+... \\ &=(0\times k_0+9\times k_1+99\times k_2+...)+(k_0+k_1+k_2+...)\end{aligned}$

     $\because \ 9\mid(0\times k_0+9\times k_1+99\times k_2+...)$ , $9\mid(k_0+k_1+k_2+...)$

     $\therefore \ 9\mid(0\times k_0+9\times k_1+99\times k_2+...)+(k_0+k_1+k_2+...)$

     $\therefore \ 9\mid a$

6. 若 $11$ 能整除 $a$ 的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差，则 $11\mid a$

   • 证明：

     $\begin{aligned}令 \ a&=1\times k_0+10\times k_1+100\times k_2+... \\ &=(0+1)\times k_0+(11-1)\times k_1+(99+1)\times k_2+... \\ &=(0\times k_0+11\times k_1+99\times k_2+...)+(k_0-k_1+k_2-...)\end{aligned}$

     $\because \ 11\mid(0\times k_0+11\times k_1+99\times k_2+...)$ , $311\mid(k_0-k_1+k_2-...)$

     $\therefore \ 11\mid(0\times k_0+11\times k_1+99\times k_2+...)+(k_0-k_1+k_2-...)$

     $\therefore \ 11\mid a$

7. 能被 $7$ 、 $11$ 、 $13$整除的数的特征是：这个数的末三位与末三位以前的数字所组成数之差能被 $7$ 、 $11$ 、 $13$ 整除.

   • 证明：

     令 $a=\overline{k_1k_2k_3...k_n}$

     $\because \ 1001\mid(\overline{k_{n-2}k_{n-1}k_n}\times 1001)$

     $\therefore \ 1001\mid\overline{k_{n-2}k_{n-1}k_nk_{n-2}k_{n-1}k_n}$

     $\because \ 1001\mid a$ , $1001\mid\overline{k_{n-2}k_{n-1}k_nk_{n-2}k_{n-1}k_n}$

     $\therefore \ 1001\mid (a-\overline{k_{n-2}k_{n-1}k_nk_{n-2}k_{n-1}k_n})$

     $\therefore \ 1001\mid(\overline{k_1k_2k_3...k_{n-3}}-\overline{k_{n-2}k_{n-1}k_n})$