数论:整除、同余

整除、同余


整除的概念:

a , b 为整数(a0),如果存在一个整数 q,使得 a×q=b,则称 b 能被 a 整除,记为 ab,且称 ba 的倍数,ab 的因子。

整除的几个性质:
  1. 传递性:如果 abbc,则 ac.

    • 证明:

       ab , bc

      b=a×k1(k1Z , k10)

      令 使得 c=b×k2=a×k1×k2(k2Z , k20)

       a(a×k1×k2)

       ac

  2. abac 等价于对于任意的整数 xy,有 a(b×x+c×y).

    • 证明:

       ab , ac

      b=a×k1 , c=a×k2(k1 , k2Z , k1 , k20)

       b×x+c×y=a×k1×x+a×k2×y=a×(k1×x+k2×y)

      x,yZ

       a[a×(k1×x+k2×y)]

       a(b×x+c×y)

  3. m0,则 ab(m×a)(m×b).

    • 证明:

       m0 , ab

      b=a×k(kZ , k0)

      m×b=m×a×k

      (m×a)(m×a×k)

      (ab)(m×a)(m×b)

  4. 设整数 x , y 满足下式:a×x+b×y=1 ,且anbn,那么 (a×b)n.

    • 证明:

      an , bn

       a , bZ , a , b0

       a×x+b×y=1

       x=1 , y=0 , a=1 , 或 x=0 , y=1 , b=1

      • x=1 , y=0 , a=1

        bn , a=1

        a×b=1×b=b×n

      • x=0 , y=1 , b=1

         an , b=1

         a×b=1×a=a×n

  5. b=q×d+c ,那么 dbdc.

    • dbdc

      • 证明:

         b=q×d+c

        db , d(q×d)

        dc

    • dcdb:

      • 证明:

        b=q×d+c

         d(q×d) , bc

         d(q×d+c)

         db

同余的几个性质:
  1. 同加性:若 ab(modm)a+cb+c(modm)

    • 证明:

       m(ab)

       m(ab+cc)

       m[(a+c)(b+c)]

       a+cb+c(modm)

  2. 同减性:若 ab(modm)acbc(modm)

    • 证明:

       m(ab)

       m(ab+cc)

       m[(ac)(bc)]

      acbc(modm)

  3. 同乘性:若 ab(modm)a×cb×c(modm)

    • 证明:

       m(ab)

       m[(ab)×c]

       m(a×cb×c)

       a×cb×c(modm)

  4. 同除性:若 ab(modm) ,且 ca , cb , gcd(c , m)=1 ,则 a÷cb÷c(modm)

    • 证明:

       ca , cb

      a=c×k1 , b=c×k2(k1 , k2Z , k1 , $k_2\ne0)

      ab=c×k1c×k2=c×(k1k2)

       m(ab)

      m[c×(k1k2)]

       gcd(c,m)=1

       m(k1k2)

      m[(ab)÷c]

      m(a÷cb÷c)

       a÷cb÷c(modm)

  5. 同幂性:若 ab(modm) , c>0 , 则 acbc(modm)

    • 证明:

       acbc=(ab)×(ac1×b0+ac2×b1+ac3×b2+...+a1×bc2+a0×bc1)

       m(ab)

       m(ab)×(ac1×b0+ac2×b1+ac3×b2+...+a1×bc2+a0×bc1)

      m(acbc)

       acbc(modm)

  6. amodp=x , amodq=x ,且 p , q 互质,则 amod(p×q)=x

    • 证明:

       amodp=x , amodq=x

      b=ax

       pb

      gcd(q,p)=1

       lcm(p , q)=p×q , qb

       lcm(p , q)b

      (p×q)b

      amod(p×q)=x

数论小常识:

  1. 2 能整除 a 的最末位,则 2a

    • 证明:
      a=10×k1+k2(k1 , k2Z , |k2|<10)

       2k2 , 2(10×k1)

       2(10×k1+k2)

       2a

  2. 4 能整除 a 的末两位,则 4a

    • 证明:

      a=100×k1+k2(k1 , k2Z , |k2|<100)

       4k2 , 4(100×k1)

       4(100×k1+k2)

       4a

  3. 8 能整除 a 的末三位,则 8a

    • 证明:

      a=1000×k1+k2(k1 , k2Z , |k2|<1000)

       8k2 , 8(1000×k1)

       8(1000×k1+k2)

       8a

  4. 3 能整除 a 的各位数字之和,则 3a

    • 证明:

       a=1×k0+10×k1+100×k2+...=(0+1)×k0+(9+1)×k1+(99+1)×k2+...=(0×k0+9×k1+99×k2+...)+(k0+k1+k2+...)

       3(0×k0+9×k1+99×k2+...) , 3(k0+k1+k2+...)

       3(0×k0+9×k1+99×k2+...)+(k0+k1+k2+...)

       3a

  5. 9 能整除 a 的各位数字之和,则 9a

    • 证明:

       a=1×k0+10×k1+100×k2+...=(0+1)×k0+(9+1)×k1+(99+1)×k2+...=(0×k0+9×k1+99×k2+...)+(k0+k1+k2+...)

       9(0×k0+9×k1+99×k2+...) , 9(k0+k1+k2+...)

       9(0×k0+9×k1+99×k2+...)+(k0+k1+k2+...)

       9a

  6. 11 能整除 a 的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差,则 11a

    • 证明:

       a=1×k0+10×k1+100×k2+...=(0+1)×k0+(111)×k1+(99+1)×k2+...=(0×k0+11×k1+99×k2+...)+(k0k1+k2...)

       11(0×k0+11×k1+99×k2+...) , 311(k0k1+k2...)

       11(0×k0+11×k1+99×k2+...)+(k0k1+k2...)

       11a

  7. 能被 71113整除的数的特征是:这个数的末三位与末三位以前的数字所组成数之差能被 71113 整除.

    • 证明:

      a=k1k2k3...kn¯

       1001(kn2kn1kn¯×1001)

       1001kn2kn1knkn2kn1kn¯

       1001a , 1001kn2kn1knkn2kn1kn¯

       1001(akn2kn1knkn2kn1kn¯)

       1001(k1k2k3...kn3¯kn2kn1kn¯)

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