矩阵的秩

矩阵与线性空间

对于一个 \(n \times m\) 的矩阵，我们把每一行看作一个 \(m\) 维向量，称这些向量为这个矩阵的 行向量。

同理，我们把每一列看作一个 \(n\) 维向量，称这些向量为这个矩阵的列向量。

以行向量作为生成子集的线性空间的维度称为这个矩阵的 行秩。类似地，我们有 列秩 的定义。

Theorem

对于任意一个矩阵，其行秩与列秩相等。

Proof

考虑对矩阵 \(A\) 进行初等行变换。

初等行变换分为三种：

1. 交换矩阵不同的两行；
2. 把矩阵的某一行乘上一个非 0 系数加到另一行上；
3. 对某一行乘上一个非 0 系数。

其中第 2,3 种变换对应了行向量的向量加法与标量乘法。

这意味着无论如何对矩阵做初等行变换，行向量表出的线性空间保持不变。

类似于高斯消元，利用初等行变换将原矩阵转化为对角矩阵。

全为 0 的行表示 0 向量，无法表出除 0 向量以外的任意向量，且非 0 行组成的向量集合线性无关。

于是我们得到，矩阵的行秩就是对角矩阵的非 0 行个数。

\[\begin{bmatrix}1 &0 &0\\0 &1 &1\\0 &0 &0\end{bmatrix} \]

可以发现，对于这个对角矩阵进行初等列变换，得到列秩也等于非 0 行个数。

接下来需要证明对一个矩阵进行初等行变换之后，列向量表出的线性空间的维度不变。

设 \(m\) 维向量集合 \(S=\{ a_1,a_2,a_3,...,a_n \}\) 与 \(m\) 维向量 \(b\)。

\(S\) 能够表出 \(b\)，当且仅当存在一组 \(k_1,k_2,...k_n\)，满足：

\[\begin{cases}\sum a_{i,1}\cdot k_i=b_1 \\\sum a_{i,2}\cdot k_i=b_2 \\\sum a_{i,3}\cdot k_i=b_3 \\\vdots\\\sum a_{i,m} \cdot k_i = b_m\end{cases} \]

我们把这个方程组写为增广矩阵形式：

\[\begin{bmatrix}a_{1,1} &a_{2,1} &a_{3,1} &\cdots &a_{n,1} &b_1\\a_{1,2} &a_{2,2} &a_{3,2} &\cdots &a_{n,2} &b_2\\a_{1,3} &a_{2,3} &a_{3,3} &\cdots &a_{n,3} &b_3\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{1,m} &a_{2,m} &a_{3,m} &\cdots &a_{n,m} &b_m\end{bmatrix} \]

对这个矩阵进行初等行变换，不会对 \(k\) 是否存在产生影响。

设 \(S\) 变为 \(S'\)，\(b\) 变为 \(b'\)，\(T,T'\) 分别为 \(S,S'\) 表出的线性空间。

对于任意的 \(b\)，若能被 \(S\) 表出，则对应的 \(b'\) 也一定能够被 \(S'\) 表出。故 \(T,T'\) 为一组双射。

不失一般性，删去 \(S\) 中若干个元素，使得 \(S\) 变为 \(T\) 的基底，重新产生对应的 \(S',T'\)。设 \(T'\) 的基底为 \(P\)。

假设 \(|S|<|P|\)，则 \(|S'|<|P|\)。由基底的极小性，\(S'\) 不可能成为 \(T'\) 的生成子集，这与 \(T'\) 定义矛盾。故得到 \(|S|\geq |P|\)。

由初等行变换的可逆性，逆向地考虑，同理可得 \(|S| \leq |P|\)。

于是有 \(|S|=|P|\)。初等行变换不会影响列向量的维度。命题得证。

回到原来的对角矩阵，它的列秩就等于原矩阵的列秩。

我们最终得到，对于任意的矩阵，行秩和列秩分别对应了对角矩阵的行秩与列秩，二者相等。